# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # adalah bentuknya # y ^ 2-2y + 1 # di mana #y = x ^ 3 #.
Formula kuadrat ini dalam # y # faktor seperti berikut:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y - 1) ^ 2 #
Jadi # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
Jadi # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1)
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# x ^ 2 + x + 1 # tidak mempunyai faktor linier dengan pekali sebenar. Untuk memeriksa notis ini bahawa ia adalah borang # ax ^ 2 + bx + c #, yang mempunyai diskriminasi:
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
Menjadi negatif, persamaan # x ^ 2 + x + 1 = 0 # tidak mempunyai akar sebenar.
Salah satu cara untuk menyemak jawapan adalah untuk menggantikan nilai untuk # x # itu bukan akar ke kedua-dua belah pihak dan lihat jika kita mendapat hasil yang sama:
Cuba # x = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Bandingkan dengan:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
Nah yang berjaya!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # adalah agak mudah untuk faktor, kerana ia adalah persegi sempurna. Bagaimana saya tahu ini? Ia adalah trinomial dalam bentuk # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #, dan semua trinomial dalam bentuk itu adalah dataran yang sempurna.
Trinomial ini adalah dataran yang sempurna # (x ^ 3 - 1) #. Untuk memeriksa kerja saya, saya akan bekerja ke belakang:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Oleh itu, trinomial ini mempunyai faktor #1#, # x ^ 3 - 1 #, dan # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
Walau bagaimanapun, seperti yang telah ditunjukkan kepada saya, # (x ^ 3 - 1) # juga mempunyai faktor. Oleh kerana ia adalah binomial borang # a ^ 3 - b ^ 3 #, ia juga boleh ditulis sebagai # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Jadi, # (x ^ 3 - 1) # faktor ke dalam # (x - 1) # dan # (x ^ 2 + x + 1) #, yang keduanya adalah perdana.
Faktor-faktor # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # adalah:
#1#
# x-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Lebih khusus lagi, pemfaktoran PRIME dari # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # adalah:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
