Apakah domain dan julat f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

Jawapan:

Domain adalah # RR # (semua nombor sebenar) dan julatnya # 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #

(semua nombor nyata antara dan termasuk # (5-sqrt (61)) / 72 # dan # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Penjelasan:

Dalam domain, kita mulakan dengan semua nombor sebenar, dan kemudian keluarkan mana-mana yang akan memaksa kita untuk mempunyai punca kuasa dua nombor negatif, atau #0# dalam penyebut pecahan.

Sekilas, kita tahu bahawa sebagai # x ^ 2> = 0 # untuk semua nombor sebenar, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. Oleh itu penyebut tidak akan #0# untuk sebarang nombor sebenar # x #, bermakna domain itu termasuk setiap nombor sebenar.

Untuk julat, cara paling mudah untuk mencari nilai di atas melibatkan beberapa kalkulus asas. Walaupun ia lebih lama, ia juga mungkin untuk mencari mereka menggunakan hanya algebra, bagaimanapun, dengan kaedah terperinci di bawah.

Bermula dengan fungsi ini #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # kami ingin mencari semua nilai yang mungkin #f (x) #. Ini bersamaan dengan mencari domain fungsi songsang # f ^ -1 (x) # (fungsi dengan harta itu # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Malangnya, kebalikan dari #f (x) # dalam kes ini bukan fungsi, kerana ia mengembalikan 2 nilai, bagaimanapun, idea itu masih sama. Kita akan bermula dengan persamaan #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # dan selesaikan # x # untuk mencari songsang. Seterusnya, kita akan melihat nilai-nilai yang mungkin # y # untuk mencari domain songsang, dan oleh itu pelbagai fungsi asal.

Penyelesaian untuk # x #:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

Merawat # y # sebagai pemalar, kami menggunakan formula kuadratik

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

untuk mendapatkan

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

Sekarang kita perlu mencari domain ungkapan di atas (ambil perhatian bahawa ia bukan fungsi kerana #+-#). Ambil perhatian bahawa dengan membahagikan dengan # y # dalam formula kuadratik, kami kehilangan kemungkinan # y = 0 #, yang jelas mungkin dalam persamaan asal (untuk #x = -5 #). Oleh itu, kita akan mengabaikannya # y # dalam penyebut undur, dan hanya memberi tumpuan kepada akar kuadrat.

Seperti yang dinyatakan sebelum ini, kami tidak membenarkan root square nilai kurang daripada 0, dan oleh itu kami mempunyai sekatan

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Menggunakan formula kuadrat pada # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # kita dapati, selepas beberapa penyederhanaan, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

Akhirnya, kita boleh memberitahu bahawa sebagai # | y | # tumbuh besar, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # akan kurang daripada #0#. Oleh itu kita hanya mempertimbangkan selang antara

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # dan #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Jadi nilai-nilai yang dibenarkan untuk # y #, dan dengan itu julat untuk #f (x) #, adalah

# 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #