Segitiga mempunyai sudut di (4, 1), (2, 4), dan (0, 2) #. Apakah titik akhir bisectors serat segitiga?

Jawapan:

Titik endapan mudah ialah titik tengah, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# dan yang lebih sukar adalah di mana bisectors memenuhi pihak lain, termasuk #(8/3,4/3).#

Penjelasan:

Oleh bisectors serentak segitiga kita mungkin bermaksud pemisah perpendicular dari setiap sisi segitiga. Oleh itu, terdapat tiga bisector serenjang bagi setiap segitiga.

Setiap bisektor tegak lurus ditakrifkan untuk memotong satu sisi pada titik tengahnya. Ia juga akan bersilang antara satu sama lain. Kami akan menganggap kedua-dua mereka adalah titik akhir.

Titik tengah adalah

# D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Ini mungkin merupakan tempat yang baik untuk mengetahui tentang peramalan parametrik untuk baris dan segmen garisan. # t # adalah parameter yang boleh merangkumi reals (untuk baris) atau dari #0# kepada #1# untuk segmen garisan.

Mari kita nyatakan mata #A (4,1) #, #B (2,4) # dan #C (0,2) #. Ketiga-tiga belah adalah:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Sebagai # t # pergi dari sifar ke satu yang kita surih setiap sisi.

Mari kerja satu. # D # ialah titik tengah # BC #, # D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

Vektor arah dari C ke B ialah # B-C = (2,2) #. Untuk yang berserenjang, kita flip dua pekali (tiada kesan di sini kerana mereka berdua #2#) dan menafikannya. Jadi persamaan parametrik untuk tegak lurus

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Baris yang berbeza, parameter yang berbeza.) Kita dapat melihat di mana ini memenuhi setiap sisi.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # mengesahkan bahawa bisektor tegak lurus memenuhi BC pada titik tengahnya.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

Mengurangkan, # t = 2-3 = - 1 #

Itu di luar rentang supaya pemisah tegar BC tidak melanda AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

Mengurangkan, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

Yang memberikan titik akhir yang lain sebagai

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Ini semakin lama, jadi saya akan meninggalkan dua titik akhir yang lain kepada anda.