Sekiranya batu jatuh pada ketinggian 174.9 m dari helikopter yang naik dengan kelajuan 20.68 m / s, berapa batu yang diperlukan untuk mencapai tanah?

Jawapan:

8.45 saat.

Penjelasan:

Arah 'g' apabila bercakap tentang pecutan bergantung pada sistem koordinat yang kita tentukan. Sebagai contoh, jika anda menentukan ke bawah sebagai positif 'y' maka g akan positif. Konvensyen adalah untuk mengambil ke atas sebagai positif jadi g akan negatif. Inilah yang akan kita gunakan, juga kita mengambil alasan sebagai #y = 0 #

#color (merah) ("EDIT:") # Saya telah menambah satu pendekatan menggunakan persamaan kinematik yang anda pelajari pada peringkat awal. Semua yang saya lakukan di sini adalah menggunakan kalkulus ini tetapi saya menghargai anda mungkin tidak membahasnya.Tatal ke tajuk merah untuk pendekatan bukan kalkulus.

Kita boleh melihat ini lebih dekat dengan bermula dari awal dengan undang-undang kedua Newton. Apabila batu itu dijatuhkan ia mempunyai halaju awal tetapi satu-satunya daya yang bertindak di atasnya adalah disebabkan graviti. Kami telah jelaskan ke atas sebagai arahan y positif oleh undang-undang kedua Newton yang boleh kita tulis

#m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

Ini kerana batu itu akan mempercepatkan ke arah bumi, yang telah kita didefinisikan sebagai arah negatif.

Mengintegrasikan ungkapan ini memberikan:

# (dy) / (dt) = -g t + C #

# (dy) / (dt) = y '(t) # adalah halaju batu, jadi apabila kita menggunakan halaju awal pada #y '(0) = + 20.68 # kami tiba di

# 20.68 = g * 0 + C #

#implies C = 20.68 #

# (dy) / (dt) = 20.68 - g t #

Model ini halaju dan masuk akal jika anda berfikir mengenainya. Apabila ia dibebaskan, ia akan mempunyai halaju yang sama seperti helikopter dan akan bergerak ke atas untuk beberapa waktu tetapi ketika masa berjalan ia akan berhenti dan kemudian mulai jatuh.

Untuk mencari anjakan, kami menyatukan sekali lagi:

#y (t) = 20.68t - 1 / 2g t ^ 2 + C #

Sapukan keadaan awal #y (0) = 174.9 #

# 174.9 = 20.68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

#implies C = 174.9 #

#dengan itu y (t) = 20.68t - 1 / 2g t ^ 2 + 174.9 #

Untuk menyelesaikan masa untuk mencapai tanah, tetapkan # y = 0 # dan selesaikan kuadratik:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20.68t - 174.9 = 0 #

Ini pastinya merupakan pekerjaan untuk formula kuadrat:

#t = (20.68 + -sqrt (20.68 ^ 2 - 4 (1 / 2g) (- 174.9))) / g #

Mengambil #g = 9.8ms ^ (- 2) #

#t = 8.45 atau -4.23 #

Kami membuang penyelesaian negatif jadi oleh itu batu mengambil masa 8.45 saat untuk memukul tanah.

#color (merah) ("Tiada Pendekatan Kalkulus") #

Kami tahu itu #v = v_0 + di # di mana # v # adalah halaju terakhir, # v_0 # adalah halaju awal, # a # adalah pecutan dan # t # adalah masa ia digunakan.

Seperti yang saya katakan tadi, dengan sistem koordinat ke atas # g # akan menjadi negatif tetapi batu pada awalnya akan bergerak ke atas kerana halaju awalnya. Kami mahu mencari titik di mana ia berhenti bergerak ke atas:

Tetapkan #v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

#dalam t = v_0 / g = 20.68 / 9.8 #

Gunakan sekarang

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # lagi dengan #a = -g #

jadi #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20.68) ^ 2 / 9.8 - (20.68 ^ 2) / (2 * 9.8) #

#S = 21.8m #

Ini bermakna batu itu berhenti seketika #y = 174.9 + 21.8 #

#y = 196.7m #

Sekarang kita tidak mempunyai apa-apa halaju awal yang pesky untuk bertanding, hanya jatuh lurus dari ketinggian ini:

#S = v_0t -1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

Seperti yang positif, jatuh akan menyebabkan anjakan negatif jadi

# -196.7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196.7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196.7) /9.8) #

#t = 8.45 # seperti yang dikehendaki.

Jawapan:

8.45s

Penjelasan:

Helikopter sedang menunggang halaju # u = 20.68m / s # Jadi batu yang jatuh dari itu akan mempunyai halaju awal yang sama dengan halaju naik helikopter tetapi daya gravitasi ke bawah akan memberikan percepatan ke bawah (g).

Memandangkan titik menjatuhkan batu dari helikopter sebagai asal kita meneruskan seperti berikut

Jika ke atas halaju awal diambil positif kemudian pecutan ke bawah (g) harus diambil sebagai negatif dan anjakan turun (h) juga harus dipertimbangkan negatif.

#color (merah) ("Di sini ke atas + ve dan ke bawah -ve") #

Sekarang pengiraan masa (t) mencapai tanah

Jadi kita ada

# u = + 20.68m / s #

# g = -9.8m / s ^ 2 #

# h = -174.9m #

#t =? #

Memasukkannya dalam persamaan gerakan di bawah graviti (terdiri daripada pemboleh ubah h, u, g, t) kita mendapatkan

# h = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174.9 = 20.68xxt-1 / 2xx9.8xxt ^ 2 …. (1) #

# => 4.9t ^ 2-20.68t-174.9 = 0 #

# => t = (20.68 + sqrt ((- 20.68) ^ 2-4 * 4.9 * (- 174.9))) / (2 * 4.9)

#:. t = 8.45s #

Persamaan yang sama (1) akan diperolehi jika kita membalik arah#color (merah) ("i.e.upward - ive and downward ive.") #