Jawapan:
Semak di bawah untuk jawapan
Penjelasan:
Untuk # x = 0 # kita ada
#f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
Kami menganggap fungsi baru #g (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, # x ## dalam ## RR #
#g (0) = 0 #, #g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, # x ## dalam ## RR #
Akibatnya # g # semakin meningkat # RR #. Oleh itu kerana ia semakin meningkat # g # adalah "#1-1#"(satu hingga satu)
Jadi, #f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #g (f (0)) = g (0) # #<=># #f (0) = 0 #
Kita perlu menunjukkannya # x / 2 <##f (x) <## xf '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<## (f (x) -f (0)) / (x-0) <##f '(x) #
- # f # berterusan pada # 0, x #
- # f # boleh dibezakan dalam # (0, x) #
Menurut teorem nilai min terdapat # x_0 ## dalam ## (0, x) #
untuk yang mana #f '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
#f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, # x ## dalam ## RR # jadi
dengan membezakan kedua-dua bahagian yang kita dapat
#f '(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x))' = 1 # #<=># #f '(x) + f' (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
#f '(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # # <=> ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
#f '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x))) #
Fungsinya # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # adalah berbeza. Akibatnya # f '# adalah berbeza dan # f # adalah 2 kali berbeza dengan
#f '' (x) = - ((1 + e ^ (- f (x))) ') / (1 + e ^ (- f (x) #=#
# (f '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, # x ## dalam ## RR #
-> # f '# semakin ketat # RR # yang bermaksud
# x_0 ## dalam ## (0, x) # #<=># #0<## x_0 <## x # #<=>#
#f '(0) <##f '(x_0) <##f '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
# x / 2 <##f (x) <## xf '(x) #
