Bagaimanakah anda menemui antiderivatif (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Jawapan:

#arctan (e ^ x) + C #

Penjelasan:

# "tulis" e ^ x "dx sebagai" d (e ^ x) ", maka kita memperoleh" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "dengan penggantian y =" e ^ x ", kita dapat" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "yang bersamaan dengan" #

#arctan (y) + C #

# "Sekarang ganti semula" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Jawapan:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Penjelasan:

Kami mahu mencari # inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d"

Sekarang mari # u = e ^ x # dan sebagainya mengambil perbezaan di kedua belah pihak # du = e ^ xdx #. Sekarang kita menggantikan kedua-dua persamaan ini ke dalam integral untuk mendapatkan

# int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Ini adalah integral standard yang menilai # arctanu #. Penggantian semula untuk # x # kami mendapat jawapan terakhir:

#arctan e ^ x + "c" #

Jawapan:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Penjelasan:

Pertama, kami membiarkan # u = 1 + e ^ (2x) #. Untuk menyatukan berkenaan dengan # u #, kami membahagikan dengan terbitan # u #, iaitu # 2e ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

Untuk menyatukan berkenaan dengan # u #, kita memerlukan segala yang dinyatakan dari segi # u #, jadi kita perlu selesaikan apa # e ^ x # adalah dari segi # u #:

# u = 1 + e ^ (2x) #

# e ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# x = 1 / 2ln (u-1) #

# x = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# e ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Sekarang kita boleh memasangkan kembali ini menjadi penting:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u)

Seterusnya kami akan memperkenalkan penggantian dengan # z = sqrt (u-1) #. Derivatif ialah:

# (dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

jadi kami membahagi dengannya untuk menyatukan berkenaan # z # (ingat bahawa pembahagian adalah sama seperti mendarab dengan timbal balik):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz =

# = 2 / 2int 1 / u dz #

Sekarang, kita sekali lagi kita mempunyai pembolehubah yang salah, jadi kita perlu menyelesaikannya # u # sama dengan dari segi # z #:

# z = sqrt (u-1) #

# u-1 = z ^ 2 #

# u = z ^ 2 + 1 #

Ini memberi:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Inilah derivatif biasa # tan ^ -1 (z) #, jadi kami dapat:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Memutuskan semua penggantian, kami dapat:

# tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)

# = tan ^ -1 (e ^ x) + C #