Bagaimanakah anda menemui antiderivatif dx / (cos (x) - 1)?

Jawapan:

Adakah beberapa pendaraban konjugasi, memohon beberapa halangan, dan selesai untuk mendapatkan keputusan # int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Penjelasan:

Seperti kebanyakan masalah jenis ini, kami akan menyelesaikannya menggunakan helah pendaraban conjugate. Setiap kali anda mempunyai sesuatu yang dibahagi dengan sesuatu tambah / tolak sesuatu (seperti dalam # 1 / (cosx-1) #), ia sentiasa membantu untuk mencuba pendaraban konjugasi, terutama dengan fungsi trig.

Kita akan bermula dengan mendarab # 1 / (cosx-1) # oleh conjugate of # cosx-1 #, iaitu # cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Anda mungkin tertanya-tanya mengapa kita melakukan ini. Ia jadi kita boleh memohon perbezaan segi dua harta, # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #, dalam penyebutnya, untuk memudahkannya sedikit. Kembali ke masalah:

Cosx + 1) / (cosx + 1)

# (underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#color (putih) (III) acolor (putih) (XXX) bcolor (putih) (XXX) acolor (putih)

Perhatikan bagaimana ini pada asasnya # (a-b) (a + b) #.

# = (cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Sekarang, bagaimana pula # cos ^ 2x-1 #? Nah, kita tahu # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Mari kita kalikan itu #-1# dan lihat apa yang kita dapat:

# -1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = cos ^ 2-1 #

Ternyata itu # -sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, jadi mari kita ganti # cos ^ 2x-1 #:

# (cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

Ini bersamaan dengan # cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, yang, dengan menggunakan beberapa halangan, beralih ke # -cotxcscx-csc ^ 2x #.

Pada ketika ini, kami telah dipermudahkan untuk menjadi penting # int1 / (cosx-1) dx # kepada # int-cotxcscx-csc ^ 2xdx #. Menggunakan peraturan jumlah, ini menjadi:

# int-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx #

Yang pertama adalah # cscx # (kerana terbitan # cscx # adalah # -cotxcscx #) dan yang kedua ialah # cotx # (kerana terbitan # cotx # adalah # -csc ^ 2x #). Tambah pada integrasi yang berterusan # C # dan anda mempunyai penyelesaian anda:

# int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Bagaimanakah anda menemui antiderivatif (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

(e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2 "dengan penggantian y =" e ^ x ", kita dapat" int (d (y)) / (1 + y ^ 2) "yang bersamaan dengan" arktan (y) + C " e ^ x: arctan (e ^ x) + C

Tunjukkan bahawa cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Saya agak keliru jika saya membuat Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), ia akan menjadikan negatif sebagai cos (180 ° -theta) kuadran kedua. Bagaimanakah saya dapat membuktikan soalan itu?

Sila lihat di bawah. Cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) 10) + cos ^ 2 (pi-(4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) 2) [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Bagaimanakah anda menemui antiderivatif Cosx / Sin ^ 2x?

-cosecx + C I = intcosx / sin ^ 2xdx = int1 / sinx * cosx / sinxdx I = intcscx * cotxdx = -cscx + C