Bagaimana anda membuktikan arcsin x + arccos x = pi / 2?

Jawapan:

seperti yang ditunjukkan

Penjelasan:

Biarkan

# arcsinx = theta #

kemudian

# x = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Jawapan:

Pernyataannya adalah benar apabila fungsi trig yang songsang merujuk kepada nilai utama, tetapi itu memerlukan perhatian yang lebih teliti untuk menunjukkan daripada yang diberikan oleh jawapan yang lain.

Apabila fungsi jejak songsang dianggap multivalued, kami mendapat hasil yang lebih nuanced, contohnya

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # tetapi #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Kita perlu tolak untuk mendapatkan # pi / 2 #.

Penjelasan:

Yang lebih rumit daripada kelihatan. Jawapan lain tidak memberi penghormatan yang sewajarnya.

Konvensyen umum adalah menggunakan huruf kecil #arccos (x) # dan #arcsin (x) # sebagai ungkapan multivaluasi, masing-masing masing-masing menunjukkan semua nilai yang kosina atau sinus mempunyai nilai yang diberikan # x #.

Maksud jumlah mereka adalah kombinasi yang benar-benar boleh, dan mereka tidak akan selalu memberi # pi / 2. # Mereka tidak akan sentiasa memberikan salah satu sudut perkomputeran # pi / 2 + 2pi k quad # integer # k #, seperti yang kita akan tunjukkan sekarang.

Mari kita lihat bagaimana ia berfungsi dengan fungsi trigram songsang yang terlebih dahulu. Ingat secara umum # cos x = cos a # mempunyai penyelesaian # x = pm a + 2pi k quad # integer # k #.

# c = arccos x # benar-benar bermakna

# x = cos c #

#s = arcsin x # benar-benar bermakna

#x = sin s #

#y = s + c #

# x # sedang memainkan peranan parameter sebenar yang disapu dari #-1# kepada #1#. Kami mahu selesaikan # y #, dapatkan semua kemungkinan nilai # y # yang mempunyai #x, s # dan # c # yang menjadikan persamaan serentak ini #x = cos c, x = sin s, y = s + c # benar.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Kami menggunakan penyelesaian umum kami mengenai persamaan kosinus.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # integer # k #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Jadi kita mendapat hasil yang jauh lebih teliti, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Ia dibenarkan untuk menandatangani tanda itu # k. #)

Mari kita fokuskan sekarang pada nilai utama, yang saya tulis dengan huruf besar:

Tunjukkan #text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 #

Kenyataan ini memang benar untuk nilai-nilai utama yang ditakrifkan dalam cara yang biasa.

Jumlahnya hanya ditakrifkan (sehingga kita mendapat cukup mendalam ke dalam nombor kompleks) # -1 le x le 1 # kerana sine dan kosinus yang sah berada dalam lingkungan itu.

Kami akan melihat setiap sisi bersamaan

# text {Arc} text {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)

Kami akan mengambil kosinus dari kedua-dua belah pihak.

#cos (teks {Arc} teks {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)) = sin (teks {Arc} text {sin} (x)

Jadi tanpa perlu risau tentang tanda-tanda atau nilai-nilai utama yang kami pasti

#cos (text {Arc} text {cos} (x)) = cos (pi / 2 - teks {Arc} text {sin} (x)

Bahagian yang sukar, bahagian yang patut dihormati, adalah langkah seterusnya:

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad # BELUM PASTI LAGI

Kita perlu menginjak dengan teliti. Mari kita ambil positif dan negatif # x # secara berasingan.

Pertama # 0 le x le 1 #. Ini bermakna nilai utama kedua-dua fungsi jejak songsang adalah dalam kuadran pertama, antara #0# dan # pi / 2. # Kekangan kepada kuadran pertama, kosina yang sama menyiratkan sudut yang sama, jadi kami menyimpulkan # x ge 0, #

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

Sekarang # -1 le x <0. # Nilai utama tanda songsang adalah dalam kuadran keempat, dan untuk #x <0 # kita biasanya menentukan nilai utama dalam julat

# - pi / 2 le teks {Arc} teks {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - teks {Arc} teks {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - teks {Arc} teks {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - teks {Arc} teks {sin} (x) le pi #

Nilai utama untuk kosine negatif songsang ialah kuadran kedua, # pi / 2 <teks {Arc} teks {cos} (x) le pi #

Oleh itu, kita mempunyai dua sudut dalam kuadran kedua yang cosines adalah sama, dan kita boleh menyimpulkan sudut sama. Untuk #x <0 #, #text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

Oleh itu, # text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #