Biarkan P menjadi titik pada r = 12 / (3-sin x). Biarkan F¹ dan F² menjadi titik (0, 0 °) dan (3, 90 °) masing-masing. Tunjukkan bahawa PF¹ dan PF² = 9?

Jawapan:

#r = 12 / {3-sin theta} #

Kami diminta untuk menunjukkan # | PF_1 | + | PF_2 | = 9 #, iaitu # P # menyapu elips dengan fokus # F_1 # dan # F_2. # Lihat bukti di bawah.

Penjelasan:

Mari tentukan apa yang saya akan meneka adalah salah taip dan katakan #P (r, theta) # memuaskan

#r = 12 / {3-sin theta} #

Pelbagai sinus adalah #pm 1 # jadi kita menyimpulkan # 4 le r le 6. #

# 3r - r sin theta = 12 #

# | PF_1 | = | P - 0 | = r #

Dalam koordinat segi empat tepat, # P = (r cos theta, r sin theta) # dan # F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) #

# | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta - 3) ^ 3 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta - 6 r sin theta + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin theta + 9 #

#r sin theta = 3r -12 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r - 12) + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | r-9 | #

# | PF_2 | = quad 9-r # sejak kita sudah tahu # 4 le r le 6. #

# | PF_1 | + | PF_2 | = r + 9 -r = 9 quad sqrt #

Tunjukkan bahawa cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Saya agak keliru jika saya membuat Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), ia akan menjadikan negatif sebagai cos (180 ° -theta) kuadran kedua. Bagaimanakah saya dapat membuktikan soalan itu?

Sila lihat di bawah. Cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) 10) + cos ^ 2 (pi-(4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) 2) [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Let A (x_a, y_a) dan B (x_b, y_b) menjadi dua mata dalam satah dan biarkan P (x, y) menjadi titik yang membahagi bar (AB) dalam nisbah k: 1, di mana k> 0. Tunjukkan bahawa x = (x_a + kx_b) / (1 + k) dan y = (y_a + ky_b) / (1 + k)?

Lihat bukti di bawah. Mari kita mulakan dengan mengira vec (AB) dan vec (AP) Kita mulakan dengan x vec (AB) / vec (AP) = (k + 1) / k (x_b-x_a) / (x-x_a) (k + 1) / k Mengalikan dan menyusun semula (x_b-x_a) (k) = (x-x_a) (k + 1) Penyelesaian untuk x (k + 1) x = kx_b-kx_a + kx_a + x_a (k + sama dengan y (y_b-y_a) / (y-y_a) = (k + 1) / k ky_b-ky_a = y (k (K + 1) y_a (k + 1) y = ky_b-ky_a + ky_a + y_a y = (y_a + ky_b) / (k + 1)

Biarkan P (x_1, y_1) menjadi titik dan biarkan l menjadi garis dengan persamaan kapak + dengan + c = 0.Tunjukkan jarak d dari P-> l diberikan oleh: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)? Cari jarak d titik P (6,7) dari garis l dengan persamaan 3x + 4y = 11?

D = 7 Mari l-> a x + b y + c = 0 dan p_1 = (x_1, y_1) satu titik bukan pada l. Memandangkan bahawa tiada 0 dan memanggil d ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 selepas menggantikan y = - (a x + c) / b ke d ^ 2 kita mempunyai d ^ 2 = ( x - x_1) ^ 2 + ((c + ax) / b + y_1) ^ 2. Langkah seterusnya adalah mencari d ^ 2 minimum berkenaan x supaya kita dapati x sedemikian sehingga d / (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2 a ((c + ax) / b + y_1 ) / b = 0. Ini okours untuk x = (b ^ 2 x_1 - ab y_1-ac) / (a ^ 2 + b ^ 2) Sekarang, menggantikan nilai ini menjadi d ^ 2 kita memperoleh d ^ 2 = (c + x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) jadi d = (