Apakah extrema mutlak f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) dalam [2,9]?

Jawapan:

Minimum mutlak ialah # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# yang berlaku ketika # x = 9 #.

Maksimum mutlak ialah # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # yang berlaku ketika # x = 2 #.

Penjelasan:

Extrema mutlak fungsi adalah y-nilai terbesar dan terkecil fungsi pada domain tertentu. Domain ini boleh diberikan kepada kami (seperti dalam masalah ini) atau mungkin domain fungsi itu sendiri. Walaupun kita diberikan domain, kita mesti mempertimbangkan domain fungsi itu sendiri, sekiranya ia tidak termasuk apa-apa nilai domain yang kita berikan.

#f (x) # mengandungi eksponen #1/3#, yang bukan integer. Nasib baik, domain dari #p (x) = root3 (x) # adalah # (- ya, ya) # jadi fakta ini bukan masalah.

Walau bagaimanapun, kita masih perlu mempertimbangkan hakikat bahawa penyebut tidak boleh sama dengan sifar. Penyebutnya akan bersamaan sifar apabila #x = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Tiada nilai-nilai ini terletak pada domain yang diberikan #2,9#.

Jadi, kita berpaling untuk mencari extrema mutlak #2,9#. Ekstrema mutlak berlaku di titik akhir domain atau di extrema setempat, iaitu titik di mana fungsi berubah arah. Ekstrema setempat berlaku pada titik kritikal, yang merupakan titik dalam domain di mana derivatif sama dengannya #0# atau tidak wujud. Oleh itu, kita mesti mencari derivatif. Menggunakan peraturan berbunga:

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Jika kita faktor # -3x ^ (- 2/3) # daripada pengangka, kami mempunyai:

#f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

Tiada nilai # x # pada #2,9# di mana #f '(x) # tidak wujud. Tidak ada nilai lagi #2,9# di mana #f '(x) = 0 #. Oleh itu tidak ada titik kritikal pada domain yang diberikan.

Menggunakan "ujian calon", kita dapati nilai-nilai #f (x) # di titik akhir. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Cek cepat pada kalkulator kami menunjukkan bahawa:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (maksimum mutlak)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (minimum mutlak)

Apakah extrema mutlak f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 dalam [0,3]?

Pada [0,3], maksimum ialah 19 (pada x = 3) dan minimum ialah -1 (pada x = 1). Untuk mencari extrema mutlak fungsi (berterusan) pada selang tertutup, kita tahu bahawa extrema mesti berlaku di mana-mana kritikal numers dalam selang atau pada titik akhir selang. f (x) = x ^ 3-3x + 1 mempunyai derivatif f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 tidak pernah ditakrifkan dan 3x ^ 2-3 = 0 pada x = + - 1. Oleh kerana -1 tidak berada dalam jarak [0,3], kami membuangnya. Nombor kritikal yang perlu dipertimbangkan adalah 1. f (0) = 1 f (1) = -1 dan f (3) = 19. Jadi, maksimum ialah 19 (pada x = 3) dan minimum ialah -1 (pada x = 1).

Apakah extrema mutlak f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) dalam [1,4]?

Tidak ada maxima global. Minima global adalah -3 dan berlaku pada x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (X - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, di mana x 1 f '(x) = 2x - 6 Extrema mutlak berlaku di titik akhir atau di nombor kritikal. Titik akhir: 1 & 4: x = 1 f (1): "undefined" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Titik kritikal: = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 Pada x = 3 f (3) = -3 Tidak ada maksima global. Tiada minima global adalah -3 dan berlaku pada x = 3.

Apakah extrema mutlak f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) dalam [oo, oo]?

X = 0 adalah maksimum fungsi. f (x) = 1 / (1 + x²) Mari cari f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) Jadi kita dapat melihat bahawa terdapat penyelesaian unik, (0) = 0 Dan juga penyelesaian ini adalah maksimum fungsi, kerana lim_ (x hingga ± oo) f (x) = 0, dan f (0) = 1 0 / di sini adalah jawapan kita!