Apakah extrema mutlak f (x) = x / (x ^ 2 + 25) pada selang [0,9]?

Jawapan:

maksimum mutlak: #(5, 1/10)#

minimum mutlak: #(0, 0)#

Penjelasan:

Diberikan: #f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "pada selang" 0, 9 #

Ekstrema mutlak boleh didapati dengan menilai titik akhir dan mencari sebarang maksimum atau minimum relatif dan membandingkannya # y #-nilai.

Evaluasi titik akhir:

#f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) #

#f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => (9, 9/106) ~~ (9,.085) #

Cari mana-mana minimum minimum atau maksimum dengan menetapkan #f '(x) = 0 #.

Gunakan peraturan berbunga: # (u / v) '= (vu' - uv ') / v ^ 2 #

Biarkan #u = x; "" u '= 1; "" v = x ^ 2 + 25; "" v '= 2x #

#f '(x) = ((x ^ 2 + 25) (1) - x (2x)) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 #

#f '(x) = (-x ^ 2 + 25) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 = 0 #

Sejak # (x ^ 2 + 25) ^ 2 * 0 = 0 #, kita hanya perlu menetapkan pengangka = 0

# -x ^ 2 + 25 = 0 #

# x ^ 2 = 25 #

nilai kritikal: # x = + - 5 #

Sejak selang masa kami #0, 9#, kita hanya perlu melihat #x = 5 #

#f (5) = 5 / (5 ^ 2 + 25) = 5/50 = 1/10 => (5, 1/10) #

Menggunakan ujian derivatif pertama, tetapkan selang untuk mengetahui jika titik ini adalah maksimum relatif atau minimum relatif:

selang masa: #' '(0, 5),' ' (5, 9)#

nilai ujian: # "" x = 1, "" x = 6 #

#f '(x): "" f' (1)> 0, f '(6) <0 #

Ini bermaksud pada #f (5) # kami mempunyai maksimum relatif. Ini menjadi maksimum mutlak dalam selang waktu #0, 9#, sejak # y #- nilai mata #(5, 1/10) = (5, 0.1)# adalah yang tertinggi # y #- nilai dalam selang waktu.

** Minimum mutlak berlaku pada tahap paling rendah # y #- nilai di titik akhir #(0,0)**.#

Apakah extrema mutlak f (x) = sin (x) - cos (x) pada selang [-pi, pi]?

0 dan sqrt2. (X + pi / 2-x) / 2) sin ((x- (pi / 2-x)) / 2) = - 2 cos (pi / 4) sin (x-pi / 4) = -sqrt2 sin (x-pi / -sqrt2 sin (x-pi / 4) | = sqrt2 | sin (x-pi / 4) | <= sqrt2.

Apakah extrema mutlak f (x) = sin (x) + ln (x) pada selang (0, 9)?

Tiada maksimum. Minimum ialah 0. Tidak maksimum Maksudnya xrarr0, sinxrarr0 dan lnxrarr-oo, jadi lim_ (xrarr0) abs (sinx + lnx) = oo Jadi tidak ada maksimum. Tiada minimum Let g (x) = sinx + lnx dan perhatikan bahawa g berterusan pada [a, b] untuk sebarang positif a dan b. g (1) = sin1> 0 "" dan "" g (e ^ -2) = sin (e ^ -2) -2 <0. g adalah berterusan pada [e ^ -2,1] Dengan teorem nilai pertengahan, g mempunyai sifar dalam [e ^ -2,1] iaitu subset dari (0,9). Nombor yang sama adalah sifar untuk f (x) = abs ( sinx + lnx) (yang mesti tidak negatif untuk semua x dalam domain.)

Apakah extrema mutlak f (x) = x ^ (2) + 2 / x pada selang [1,4]?

Kita perlu mencari nilai kritikal f (x) dalam selang [1,4]. Oleh itu kita mengira akar derivatif pertama supaya kita mempunyai (df) / dx = 0 => 2x-2 / x ^ 2 = 0 => 2x ^ 2 (x-2) = 0 => x = 2 Jadi f ( 2) = 5 Juga kita dapati nilai-nilai f di titik akhir maka f (1) = 1 + 2 = 3 f (4) = 16 + 2/4 = 16.5 Nilai fungsi terbesar ialah x = 4 maka f (4 = 16.5 ialah maksimum mutlak untuk f dalam [1,4] Nilai fungsi terkecil adalah pada x = 1 maka f (1) = 3 adalah minimum mutlak untuk f dalam [1,4] Graf f di [1 , 4] adalah