Bagaimana saya mencari int integral (ln (x)) ^ 2dx?

Objektif kami adalah untuk mengurangkan kuasa #ln x # supaya integral lebih mudah untuk dinilai.

Kita boleh mencapai ini dengan menggunakan integrasi oleh bahagian. Perlu diingat formula IBP:

#int u dv = uv - int v du #

Sekarang, kami akan membiarkannya #u = (lnx) ^ 2 #, dan #dv = dx #.

Oleh itu, #du = (2lnx) / x dx #

dan

#v = x #.

Sekarang, memasang keping bersama-sama, kami dapat:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

Integral baru ini kelihatan lebih baik! Memudahkan sedikit, dan membawa depan keluar terus, menghasilkan:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Sekarang, untuk menyingkirkan integral seterusnya ini, kami akan melakukan integrasi kedua dengan bahagian-bahagian, membiarkan #u = ln x # dan #dv = dx #.

Oleh itu, #du = 1 / x dx # dan #v = x #.

Pemasangan memberikan kami:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Kini, semua perkara yang perlu dilakukan adalah memudahkan, dengan mengingati untuk menambah integrasi yang berterusan:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

Dan di sana kita memilikinya. Ingat, penyepaduan oleh bahagian-bahagian adalah mengenai pemilihan # u # supaya perkara-perkara yang kemas dapat dihapuskan dari integrand. Dalam kes ini kita bawa # (ln x) ^ 2 # turun ke #ln x #, dan kemudian turun ke # 1 / x #. Pada akhirnya, ada # x #'s dibatalkan, dan ia menjadi lebih mudah untuk diintegrasikan.