Apakah kesilapan yang dibuat oleh pelajar dengan elips dalam bentuk standard?

Bentuk Standard untuk elips (seperti yang saya ajarkan) kelihatan seperti: # (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) adalah pusat.

jarak "a" = sejauh mana kanan / kiri untuk bergerak dari pusat untuk mencari titik akhir mendatar.

jarak "b" = sejauh mana ke atas / ke bawah untuk bergerak dari pusat untuk mencari titik akhir menegak.

Saya fikir bahawa seringkali pelajar akan tersilap berfikir # a ^ 2 # adalah sejauh mana beralih dari pusat untuk mencari titik akhir. Kadang-kadang, ini akan menjadi jarak yang sangat besar untuk perjalanan!

Juga, saya fikir kadang-kadang pelajar tersilap bergerak ke atas / bawah bukan kanan / kiri apabila memohon formula ini kepada masalah mereka.

Berikut adalah contoh untuk bercakap mengenai:

# (x-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

Pusat ini ialah (1, -4). Anda perlu bergerak ke kanan dan kiri "a" = 2 unit untuk mendapatkan titik akhir melintang di (3, -4) dan (-1, -4). (lihat imej)

Anda perlu bergerak ke atas dan ke bawah "b" = 3 unit untuk mendapatkan titik akhir menegak di (1, -1) dan (1, -7). (lihat imej)

Sejak <b, paksi utama akan berada dalam arah menegak.

Jika a> b, paksi utama akan berada dalam arah mendatar!

Jika anda perlu mengetahui maklumat lain tentang elips, tanyakan soalan lain!

(Kekeliruan sama ada # a # dan # b # mewakili radii utama / kecil, atau # x #- & # y #-radii)

Ingat bahawa bentuk standard untuk elips berpusat pada asalnya adalah

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Sudah, bagaimanapun, ada yang akan mengambil isu dengan formula yang disenaraikan di atas. Sesetengah sekolah pemikiran memegang itu # a # harus selalu lebih besar daripada # b # dan dengan itu mewakili panjang jejari utama (walaupun jejari utama terletak pada arah menegak, dengan itu membenarkan # y ^ 2 / a ^ 2 # dalam kes sedemikian), sementara yang lain berpendapat bahawa ia harus selalu mewakili # x #-radius (walaupun jika # x #-radius adalah jejari kecil).

Perkara yang sama berlaku dengan # b #, walaupun sebaliknya. (iaitu beberapa yang percaya bahawa # b # harus selalu radius kecil, dan yang lain percaya bahawa ia harus selalu menjadi # y #-radius).

Pastikan anda mengetahui kaedah mana yang pengajar anda (atau program yang anda gunakan) lebih suka. Sekiranya tiada keistimewaan yang kuat, maka hanya buat keputusan sendiri, tetapi selaras dengan keputusan anda. Mengubah fikiran anda separuh melalui tugasan akan membuat perkara-perkara tidak jelas, dan mengubah fikiran anda separuh melalui satu masalah akan membawa kepada kesilapan sahaja.

(Radius / paksi kekeliruan)

Majoriti kesilapan dalam elips kelihatannya berpunca dari kekeliruan ini dengan radius mana yang utama dan yang kecil. Kesalahan lain yang mungkin timbul jika seseorang mengelirukan jejari utama dengan paksi utama (atau jejari kecil dengan paksi kecil). Paksi utama (atau kecil) sama dengan dua kali jejari utama (atau kecil), kerana ia pada dasarnya adalah diameter utama (atau kecil). Bergantung kepada langkah di mana kekeliruan ini berlaku, ini boleh membawa kepada kesilapan teruk dalam skala untuk elips.

(Radius / radius kekeliruan kuasa dua)

Kesalahan yang sama berlaku apabila pelajar lupa bahawa penyebut (# a ^ 2, b ^ 2 #) adalah segiempat jejari, dan bukan radii itu sendiri. Ia tidak biasa untuk melihat pelajar dengan masalah seperti # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # lukis elips dengan # x #-radius 9 dan # y #-radius 4. Selanjutnya, ini boleh berlaku bersama-sama dengan kesilapan di atas (membingungkan jejari untuk garis pusat), yang membawa kepada hasil seperti seorang pelajar dengan persamaan di atas melukis elips dengan diameter utama 9 (dan dengan demikian jejari utama 4.5) bukan diameter utama yang betul 6 (dan radius utama 3).

(Hyperbola dan Ellipse kekeliruan) AMARAN: Jawapan agak panjang

Satu lagi kesilapan yang agak biasa berlaku jika seseorang salah ingat formula untuk elips. Khususnya, yang paling umum kesilapan ini seolah-olah berlaku apabila seseorang membingungkan formula untuk elips dengan itu untuk hyperbolas (yang, ingat, adalah # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # atau # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # bagi mereka yang berpusat di asalnya, sekali lagi tertakluk kepada konvensyen-label yang menyenaraikan di atas). Untuk ini, ia dapat mengingati definisi elips dan hyperbolas sebagai bahagian kon conic.

Khususnya, ingat bahawa elips adalah lokus mata yang berkaitan dengan dua fokus # f_1 & f_2 # terletak di sepanjang paksi utama supaya, untuk suatu titik sewenang-wenangnya # p # pada lokus, jarak dari # p # kepada # f_1 # (dilabel # d_1 #) ditambah jarak dari # p # kepada # f_2 # (dilabel # d_2 #) sama dengan dua kali radius utama (iaitu, jika # a # adalah jejari utama, # d_1 + d_2 = 2a #). Selanjutnya, jarak dari pusat ke salah satu foci ini (kadangkala dipanggil pemisahan separuh fokal atau eksentrisiti linear), dengan menganggap # a # adalah jejari utama, sama dengan #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Sebaliknya, hiperbola adalah lokus mata yang berkaitan dengan dua fokus dalam cara yang, untuk satu titik # p # pada lokus, nilai mutlak bagi beza antara jarak titik ke titik pertama dan jarak titik ke fokus kedua adalah sama dengan dua kali radius utama (iaitu dengan # a # jejari utama, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Selanjutnya, jarak dari pusat hiperbola ke salah satu foci ini (sekali lagi, kadang-kadang dipanggil eksentrisiti linear, dan masih mengandaikan # a # jejari utama) bersamaan dengan #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Berkaitan dengan takrifan kerucut, keseluruhannya sifat eksentrik # e # seksyen menentukan sama ada ia adalah bulatan (# e = 0 #), elips (# 0 <e <1 #), parabola (# e = 1 #), atau hyperbola (#e> 1 #). Untuk elips dan hiperbola, eksentrisiti boleh dikira sebagai nisbah sifat eksentrik linear kepada panjang jejari utama; Oleh itu, untuk elips itu akan menjadi #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (dan dengan itu semestinya kurang daripada 1), dan untuk hyperbola ia akan menjadi #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (dan dengan itu semestinya lebih besar daripada 1).