Bagaimanakah anda membuktikan: secx - cosx = sinx tanx?

Menggunakan takrifan # secx # dan # tanx #, bersama dengan identiti

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, kita ada

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = sinxtanx #

Jawapan:

Pertama, tukar semua syarat ke dalam # sinx # dan # cosx #.

Kedua, gunakan peraturan jumlah pecahan kepada LHS.

Terakhir, kami menggunakan identiti Pythagoras: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Penjelasan:

Pertama dalam soalan bentuk ini adalah idea yang baik untuk menukar semua istilah ke dalam sinus dan kosinus: ganti, ganti #tan x # dengan #sin x / cos x #

dan menggantikannya #sec x # dengan # 1 / cos x #.

LHS, #sec x- cos x # menjadi # 1 / cos x- cos x #.

RHS, # sin x tan x # menjadi #sin x sin x / cos x # atau # sin ^ 2 x / cos x #.

Kini kita menggunakan peraturan pecahan jumlah kepada LHS, menjadikan asas yang sama (sama seperti pecahan nombor seperti #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x- cos x => 1 / cos x- cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Terakhir, kami menggunakan identiti Pythagoras: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (salah satu identiti yang paling berguna untuk jenis masalah ini).

Dengan menyusun semula, kita dapat # 1 cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Kami menggantikannya # 1 cos ^ 2 x # di LHS dengan # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # yang bersamaan dengan RHS yang diubah suai.

Jadi LHS = RHS Q.E.D.

Perhatikan corak umum ini untuk mendapatkan sesuatu dari segi sinus dan kosinus, menggunakan peraturan pecahan dan identiti Pythagorean, sering menyelesaikan jenis soalan ini.

Jika kita inginkan, kita juga boleh mengubah suai sebelah kanan untuk memadankan sebelah kiri.

Kita harus menulis # sinxtanx # dari segi # sinx # dan # cosx #, menggunakan identiti #color (merah) (tanx = sinx / cosx) #:

# sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Kini, kami menggunakan identiti Pythagoras, iaitu # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Kita boleh ubah suai ini untuk diselesaikan # sin ^ 2x #, jadi: #color (merah) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Sekarang, hanya perpecahan pengilang:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Gunakan identiti kebalikan #color (merah) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Jawapan:

Ia benar-benar mudah …

Penjelasan:

Menggunakan identiti # tanx = sinx / cosx #, kalikan # sinx # ke identiti untuk mendapatkan:

# secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Kemudian, kalikan # cosx # melalui persamaan untuk menghasilkan:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Mempertimbangkan itu # secx # adalah kebalikan dari # cosx #.

Akhirnya, menggunakan identiti trigonometri # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #, jawapan terakhir ialah:

# sin ^ 2x = sin ^ 2x #