Jika 3x ^ 2-4x + 1 mempunyai nol alpha dan beta, maka apa yang kuadrat mempunyai nol alpha ^ 2 / beta dan beta ^ 2 / alpha?

Jawapan:

Cari # alpha # dan # beta # pertama.

Penjelasan:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

Faktor sisi kiri, sehingga kita ada

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Tanpa kehilangan generalisasi, akarnya adalah #alpha = 1 # dan #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # dan #(1/3)^2/1= 1/9#.

Polinomial dengan koefisien rasional yang mempunyai akar ini

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Sekiranya kita mahukan koefisien integer, darab dengan 9 untuk mendapatkan:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

Kita boleh membiak ini jika kita mahu:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

CATATAN: Secara umum, kita mungkin menulis

#f (x) = (x - alpha ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alpha) #

# = x ^ 2 - ((alpha ^ 3 + beta ^ 3) / (alphabeta)) x + alphabeta #

Jawapan:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Penjelasan:

Perhatikan bahawa:

# (x-alpha) (x-beta) = x ^ 2 (alpha + beta) x + alpha beta #

dan:

(x-alpha ^ 2 / beta) = x ^ 2 (alpha ^ 2 / beta + beta ^ 2 / alpha) x + (alpha ^ 2 / beta) alpha) #

(x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha)) = x ^ 2 (alpha ^ 3 + beta ^ 3) / (alpha beta) x + alpha beta #

(x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha)) = x ^ 2 - ((alpha + beta) ^ 3-3alpha beta (alpha + beta)) / (alpha beta) x + alpha beta #

Dalam contoh kita, membahagikan # 3x ^ 2-4x + 1 # oleh #3# kami ada:

# {(alpha + beta = 4/3), (alpha beta = 1/3):} #

Jadi:

# ((alpha + beta) ^ 3-3alpha beta (alpha + beta)) / (alpha beta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Jadi polinomial yang diingini boleh ditulis:

# x ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Maju melalui oleh #9# untuk mendapatkan pekali integer:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Jawapan:

Penyelesaian yang dicadangkan di bawah;

Penjelasan:

# 3x²-4x + 1 #

Catatan: # a # adalah alpha, # b # adalah beta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Untuk membentuk persamaan, kita dapati hasil dan jumlah akar.

Untuk Jumlah

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Tetapi; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

Oleh itu;

# ((a + b) ³-3ab (a + b)) / (ab) #

Oleh itu kita menggantikan nilai-nilai..

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / cancel3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (cancel3 / 1) #

#28/9#

Oleh itu, jumlahnya adalah #28/9#

Untuk Produk

# ((a²) / b) ((b²) / a) #

# ((ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / cancel9_3 xx cancel3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Oleh itu, produk itu adalah #1/3#

# x²- (a + b) x + ab #

# x²- (28/9) x + 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

Membahagikan melalui oleh #9#

Harap ini membantu!