Bagaimanakah anda menunjukkan bahawa derivatif fungsi ganjil adalah walaupun?

Untuk fungsi yang diberikan # f #, derivatifnya diberikan oleh

#g (x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #

Sekarang kita perlu menunjukkan bahawa, jika #f (x) # adalah satu fungsi ganjil (dengan kata lain, # -f (x) = f (-x) # untuk semua # x #kemudian #g (x) # adalah fungsi yang sama (#g (-x) = g (x) #).

Dengan ini dalam fikiran, mari kita lihat apa #g (-x) # adalah:

#g (-x) = lim_ (h-> 0) (f (-x + h) -f (-x)) / h #

Sejak #f (-x) = - f (x) #, yang di atas adalah sama dengan

#g (-x) = lim_ (h-> 0) (- f (x-h) + f (x)) / h #

Tentukan pembolehubah baru # k = -h #. Sebagai # h-> 0 #, begitu juga # k-> 0 #. Oleh itu, perkara di atas menjadi

#g (-x) = lim_ (k-> 0) (f (x + k) -f (k)) / k = g (x) #

Oleh itu, jika #f (x) # adalah fungsi ganjil, derivatifnya #g (x) # akan berfungsi walaupun.

# "Q.E.D." #

Kebarangkalian bahawa anda terlambat ke sekolah adalah 0,05 untuk mana-mana hari. Memandangkan anda tidur lewat, kebarangkalian bahawa anda terlambat ke sekolah adalah 0.13. Adakah peristiwa "Lewat Sekolah" dan "Tidur Lewat" adalah bebas atau bergantung?

Mereka bergantung. Acara "terlambat tidur" mempengaruhi kebarangkalian acara lain "lewat ke sekolah". Contoh peristiwa bebas membalikkan duit syiling berulang kali. Oleh kerana duit syiling tidak mempunyai ingatan, kebarangkalian pada lekapan kedua (atau yang lebih tinggi) masih 50/50 - dengan syarat ia adalah duit syiling yang adil! Tambahan: Anda mungkin mahu berfikir perkara ini: Anda bertemu rakan, yang tidak pernah bercakap selama bertahun-tahun. Apa yang anda tahu ialah dia mempunyai dua orang anak. Apabila anda bertemu dengannya, dia mempunyai anaknya dengan dia. Apakah peluang anak lain itu juga

Biarkan D = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 di mana a dan b adalah bilangan bulat positif berturut-turut dan c = ab. Bagaimana anda akan menunjukkan bahawa sqrtD adalah integer positif ganjil?

Lihat di bawah Membuat a = n dan b = n + 1 dan menggantikan dalam ^ 2 + b ^ 2 + a ^ 2b ^ 2 = n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 + n ^ 2 (n + 1) 2 yang memberikan 1 +2 n + 3 n ^ 2 + 2 n ^ 3 + n ^ 4 tetapi 1 + 2 n + 3 n ^ 2 + 2 n ^ 3 + n ^ 4 = (1 + n + n ^ 2) ^ 2 yang merupakan segi empat daripada integer ganjil

Biarkan D = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 di mana a dan b adalah bilangan bulat positif berturut-turut dan c = ab.Bagaimana anda akan menunjukkan bahawa sqrtD adalah integer positif ganjil?

D = (a ^ 2 + a + 1) ^ 2 yang merupakan kuadrat integer ganjil. Oleh itu, kita mempunyai: b = a + 1 c = ab = a (a + 1) Jadi: D = a ^ 2 + (a + 1) ^ 2 + (a (a + 1) 2+ (a ^ 2 + 2a + 1) + a ^ 2 (a ^ 2 + 2a + 1) = a ^ 4 + 2a ^ 3 + 3a ^ 2 + 2a + 1 = (a ^ 2 + ^ 2 Jika sesuatu yang ganjil maka itu adalah ^ 2 dan oleh itu a ^ 2 + a + 1 adalah ganjil. Sekiranya a pun kemudiannya adalah ^ 2 dan oleh itu a ^ 2 + a + 1 adalah ganjil.