Apakah antiderivatif 1 / sinx?

Jawapan:

Ia adalah # -ln abs (cscx + cot x) #

Penjelasan:

# 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) #

# = (csc ^ 2 x + csc x cot x) / (cscx + cotx) #

Pengangka adalah sebaliknya ('negatif') daripada derivatif denomoinator itu.

Oleh itu, antiderivatif dikurangkan logaritma semulajadi penyebut.

# -ln abs (cscx + cot x) #.

(Sekiranya anda telah mempelajari teknik penggantian, kita boleh menggunakannya #u = cscx + cot x #, jadi #du = -csc ^ 2 x - cscx cotx #. Ungkapan ini menjadi # -1 / u du #.)

Anda boleh mengesahkan jawapan ini dengan membezakannya.

Pendekatan yang berbeza untuknya

# int1 / sinxdx # #=#

# intsinx / sin ^ 2xdx #

# intsinx / (1-cos ^ 2x) dx #

Pengganti

# cosx = u #

# -sinxdx = du #

# sinxdx = -du #

#=# # -int1 / (1-u ^ 2) du #

# 1 / (1-u ^ 2) = 1 / ((u-1) (u + 1)) = A / (u-1) + B / (u + 1) # #=#

# (A (u + 1) + B (u-1)) / ((u-1) (u + 1)) #

Kita perlu #A (u + 1) + B (u-1) = 1 # #<=>#

# Au + A + Bu-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 0u + 1 # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A-B = 1 ""):} # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B + 1 + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B = -1 / 2 ""), (A = 1/2 ""):} #

Oleh itu, # -int1 / (1-u ^ 2) du # #=#

# -int ((1/2) / (u-1) - (1/2) / (u + 1)) du # #=#

# 1 / 2int (1 / (u + 1) -1 / (u-1)) du # #=#

# 1 / 2int (/ (u + 1) ') / (u + 1) - ((u-1)') / (u-1)) du # #=#

# 1/2 (ln | u + 1 | -ln | u-1 | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (u + 1) / (u-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (cosx + 1) / (cosx-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (1-cosx) / (1 + cosx) | + c) #

#ln | tan (x / 2) | + c '#, # (c, c ') ## dalam ## RR #

Apakah fungsi antiderivatif fungsi jarak jauh?

Fungsi jarak ialah: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Mari kita memanipulasi ini. = sqrt (Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Sejak antiderivatif pada dasarnya yang tidak terhad, ini menjadi jumlah yang tidak terhingga daripada dx: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx yang berlaku sebagai formula untuk panjang lengkung fungsi mana-mana yang anda boleh menguruskan dengan terintegrasi selepas manipulasi.

Apakah antiderivatif pemalar? + Contoh

Saya mendapati lebih mudah untuk memikirkan ini melihat pertama terbitan. Maksud saya: apa, selepas dibezakan, akan menyebabkan pemalar? Sudah tentu, pembolehubah peringkat pertama. Sebagai contoh, jika pembezaan anda menghasilkan f '(x) = 5, jelas bahawa antiderivatif adalah F (x) = 5x Jadi, antiderivatif pemalar adalah kali pemboleh ubah yang dipersoalkan (sama ada x, y, dll .) Kita boleh meletakkannya dengan cara ini, secara matematik: intcdx <=> cx Perhatikan bahawa c ialah mutiplying 1 dalam integer: intcolor (green) (1) * cdx <=> cx Ini bermakna pemboleh ubah ijazah pertama dibezakan: f (x ) = x ^ war

Bagaimanakah anda mendapati antiderivatif e ^ (sinx) * cosx?

Gunakan penggantian u untuk mencari inte ^ sinx * cosxdx = e ^ sinx + C. Perhatikan bahawa terbitan sinx adalah cosx, dan kerana ini muncul dalam integral yang sama, masalah ini diselesaikan dengan penggantian u. Letakkan = sinx -> (du) / (dx) = cosx-> du = cosxdx inte ^ sinx * cosxdx menjadi: inte ^ udu Integral ini menilai kepada e ^ u + C (kerana derivatif e ^ u). Tetapi u = sinx, jadi: inte ^ sinx * cosxdx = inte ^ udu = e ^ u + C = e ^ sinx + C