Untuk apa nilai x ialah f (x) = x-x ^ 2e ^ -x cekung atau cembung?

Jawapan:

Cari derivatif kedua dan periksa tanda. Ia cembung jika ia positif dan cekung jika negatif.

Simpul untuk:

#x dalam (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Convex untuk:

#x dalam (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Penjelasan:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Terbitan pertama:

#f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Ambil # e ^ -x # sebagai faktor biasa untuk memudahkan derivatif seterusnya:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Derivatif kedua:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2-x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Sekarang kita mesti belajar tanda itu. Kita boleh menukar tanda untuk mudah menyelesaikan kuadratik:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Untuk membuat kuadratik suatu produk:

(2 + a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Oleh itu:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2))) * (x- (2 + sqrt (2)

• Nilai # x # antara kedua-dua penyelesaian ini memberikan tanda kuadratik negatif, sementara mana-mana nilai lain # x # menjadikannya positif.
• Mana-mana nilai # x # membuat # e ^ -x # positif.
• Tanda negatif pada permulaan fungsi membalikkan semua tanda.

Oleh itu, #f '' (x) # adalah:

Positif, oleh itu cekung untuk:

#x dalam (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negatif, oleh itu cembung untuk:

#x dalam (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #