Letakkan V = R³ dan W = {(x, y, z) x + y + z = 0} menjadi ruang lingkup V.Which pasangan vektor berikut berada dalam coset yang sama dari W dalam V? (i) (1,3,2) dan (2,2,2). (ii) (1,1,1) dan (3,3,3).

Jawapan:

# #

# mbox {i}} (1,3,2) mbox {and} (2,2,2): #

# qquad qquad qquad mbox {adalah kepunyaan coset yang sama} W. #

# mbox {ii}} (1,1,1) mbox {dan} (3,3,3): #

# qquad qquad qquad mbox {tidak tergolong dalam coset yang sama} W. #

Penjelasan:

# #

# mbox {1} Perhatikan bahawa, oleh yang diberikan pada} W, mbox {kita boleh menerangkan} mbox {unsur}} W mbox {where} mbox {jumlah koordinat adalah} 0. #

# #

# mbox {2} Sekarang ingat bahawa:} #

# mbox {dua vektor tergolong dalam coset yang sama dari mana-mana subspace} #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad iff #

# qquad mbox {perbezaannya dimiliki oleh subspace itu sendiri}. #

# #

# mbox {3) Oleh itu untuk menentukan keahlian dalam coset yang sama} W, mbox {ia adalah perlu dan mencukupi untuk menentukan sama ada} mbox {perbezaan vektor tersebut adalah milik} W:

# qquad vec {v_1}, vec {v_2} dalam mbox {sama coset} W quad iff quad vec {v_1} - vec {v_2}. #

# #

# mbox {Oleh itu, dengan keterangan} W mbox {in (1) di atas, kita mempunyai:} #

# vec {v_1}, vec {v_2} dalam mbox {sama coset} W quad iff quad mbox (jumlah koordinat} (vec {v_1} - vec {v_2}) = 0. #

# #

# mbox {Ini adalah perkara perhitungan mudah ini.} #

# #

# 4) mbox {Teruskan dengan dua vektor yang diberikan dan} mbox {melakukan pengiraan ini pada setiap pasangan, kita dapati: #

# quad mbox {i)} (1,3,2) - (2,2,2) = (-1,1,0), mbox {and so}

# qquad qquad mbox {jumlah koordinat} quad (-1,1,0) = 0. #

# mbox {Hence:} qquad qquad qquad (1,3,2) mbox {and} (2,2,2) #

# qquad qquad qquad qquad mbox {dimiliki oleh coset yang sama} W. #

# #

# quad mbox {ii}} (1,1,1) - (3,3,3) = (2,2,2), mbox {dan sebagainya} #

# qquad qquad mbox {jumlah koordinat} quad (2,2,2) = 6 ne 0. #

# mbox {Hence:} qquad qquad qquad (1,1,1) mbox {and} (3,3,3) #

# qquad quad quad mbox {tidak termasuk dalam coset yang sama} W. #