Kelas fleksibel fungsian (FCF) dikelaskan oleh a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...) , a> 0. Apabila menetapkan a = e = 2.718281828 .., bagaimana anda membuktikan bahawa e_ (cf) (0.1; 1) = 1.880789470, hampir?

Jawapan:

Lihat penjelasan …

Penjelasan:

Biarkan #t = a_ (cf) (x; b) #

Kemudian:

(x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #

Dalam kata lain, # t # adalah titik tetap pemetaan:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

Perhatikan bahawa dengan sendirinya, # t # menjadi titik tetap #F (t) # tidak mencukupi untuk membuktikannya #t = a_ (cf) (x; b) #. Mungkin terdapat mata tetap tidak stabil dan stabil.

Sebagai contoh, #2016^(1/2016)# adalah titik tetap # x -> x ^ x #, tetapi bukan penyelesaian # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Tidak ada penyelesaian).

Walau bagaimanapun, mari kita pertimbangkan #a = e #, #x = 0.1 #, #b = 1.0 # dan #t = 1.880789470 #

Kemudian:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0.1 + 1 / 1.880789470) #

# ~~ e ^ (0.1 + 0.5316916199) #

# = e ^ 0.6316916199 #

# ~~ 1.880789471 ~~ t #

Jadi nilai ini # t # sangat dekat dengan titik tetap #F_ (a, b, x) #

Untuk membuktikan bahawa ia stabil, pertimbangkan derivatif berhampiran # t #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0.1) (s) = d / (ds) e ^ (0.1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s)

Jadi kita dapati:

#F '_ (e, 1,0.1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0.5316916199 #

Oleh kerana ini negatif dan nilai mutlak kurang daripada #1#, titik tetap pada # t # adalah stabil.

Juga ambil perhatian bahawa bagi sebarang nilai sebenar bukan sifar # s # kami ada:

#F '_ (e, 1,0.1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) <0 #

Itu dia #F_ (e, 1,0.1) (s) # secara ketara menurun secara monotonik.

Oleh itu # t # adalah titik tetap stabil yang unik.

Jawapan:

Tingkah laku contractive.

Penjelasan:

Dengan #a = e # dan # x = x_0 # lelaran berikut sebagai

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # dan juga

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

Marilah kita menyiasat syarat untuk penguncupan dalam pengendali lelaran.

Mengguburkan kedua-dua pihak

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

tetapi dalam penghampiran pertama

(e ^ (b / y_k) = e ^ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

atau

(e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1} y_k-y_ {k-1}) #

Untuk mempunyai penguncupan yang kami perlukan

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

Ini dicapai jika

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Suppose #b> 0 # dan #k = 1 # kita ada.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

Jadi diberikan # x_0 # dan # b # hubungan ini membolehkan kita mencari lelaran awal di bawah tingkah laku kontra.