Ini adalah bukti trigonometri kes umum, soalan dalam kotak terperinci?

Jawapan:

Bukti oleh induksi adalah di bawah.

Penjelasan:

Mari buktikan identiti ini dengan induksi.

A. Untuk # n = 1 # kita perlu menyemaknya

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Sesungguhnya, menggunakan identiti #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #, kita lihat itu

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

dari mana yang berikut

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Jadi, untuk # n = 1 # identiti kita berlaku.

B. Menganggap bahawa identiti adalah benar # n #

Oleh itu, kami mengandaikannya

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j dalam 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1

(simbol # Pi # digunakan untuk produk)

C. Menggunakan andaian B di atas, mari buktikan identiti untuk # n + 1 #

Kita perlu membuktikan bahawa dari andaian B berikut

# (2cos (2 ^ (n +1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j dalam 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1

(perhatikan bahawa batas hak untuk indeks pendaraban adalah # n # sekarang).

BUKTI

Menggunakan identiti #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # untuk # x = 2 ^ nta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ nta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ nta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ nta) -1 * 2cos (2 ^ nta) +1 #

Bahagikan ungkapan awal dan akhir oleh # 2cos (theta) +1 #, mendapat

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ nta) -1 * 2cos (2 ^ nta) +1 / 2cos (theta) +1 #

Sekarang kita menggunakan asumsi B mendapat

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ nta) -1 * Pi _ (j dalam 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j dalam 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(perhatikan jajaran indeks sekarang dilanjutkan kepada # n #).

Formula terakhir adalah sama untuk # n + 1 # sebagai asal adalah untuk # n #. Itu melengkapkan bukti dengan induksi bahawa formula kami adalah benar untuk apa-apa # n #.

Jawapan:

Lihat Seksyen Penjelasan Bukti di bawah.

Penjelasan:

Ini bersamaan dengan membuktikan bahawa, # (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^

# "The L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1)

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1)

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "R.H.S." #

Nikmati Matematik.!