(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Mari lakukannya ???

Jawapan:

#a = 1, b = 1 #

Penjelasan:

Menyelesaikan cara tradisional

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a +

Sekarang selesaikan # a #

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # tetapi # a # mestilah benar jadi keadaannya

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # atau # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

kini menggantikan dan menyelesaikannya # a #

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # dan penyelesaiannya adalah

#a = 1, b = 1 #

Satu lagi cara untuk melakukan perkara yang sama

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a +

tetapi

# 1 - a + a ^ 2 - b - b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1)

dan menyimpulkan

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b =

Jawapan:

D. Terdapat satu persatu penyelesaian # (a, b) = (1, 1) #

Penjelasan:

Diberikan:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Perhatikan bahawa kita boleh membuat ini menjadi masalah homogen simetri yang baik dengan generalising kepada:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

kemudian tetapkan # c = 1 # pada akhirnya.

Memperluas kedua-dua belah masalah umum ini, kami mempunyai:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Mengambil bahagian kiri dari kedua-dua belah pihak, kami dapat:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (putih) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

#color (putih) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

Untuk nilai sebenar # a #, # b # dan # c #, ini hanya boleh dipegang jika semua # (a-b) #, # (b-c) # dan # (c-a) # adalah sifar dan dengan itu:

#a = b = c #

Kemudian letakkan # c = 1 # kita dapati satu-satunya penyelesaian kepada masalah asal, iaitu # (a, b) = (1, 1) #