Apakah titik ekstrema dan pelana f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2))?

Jawapan:

# {: ("Titik Kritikal", "Kesimpulan"), ((0,0,0), "pelana"):} #

Penjelasan:

Teori untuk mengenal pasti extrema # z = f (x, y) # adalah:

1. Selesaikan persamaan kritikal serentak

   # (separa f) / (separa x) = (separa f) / (separa y) = 0 # (iaitu # f_x = f_y = 0 #)

2. Evaluasi #f_ (x x), f_ (yy) dan f_ (xy) (= f_ (yx)) # pada setiap titik kritikal ini. Oleh itu, menilai # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # pada setiap titik ini
3. Tentukan sifat extrema;

   # {: (Delta> 0, "Terdapat minimum jika" f_ (xx) <0), (dan "maksimum jika" f_ (yy)> 0), (Delta <0,), (Delta = 0, "Analisis lebih lanjut diperlukan"):} #

Jadi kami mempunyai:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

Marilah kita cari derivatif separa pertama:

# (separa f) / (separa x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2)

# = ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (separa f) / (separa y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2)

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Jadi persamaan kritikal kami ialah:

(x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

Daripada persamaan ini kita ada:

# y = 0 # atau # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # atau # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

Dan satu-satunya penyelesaian serentak adalah # x = y = 0 #

Dan jadi kami ada satu titik kritis di asalnya

Oleh itu, mari kita lihat derivatif separa kedua supaya kita dapat menentukan sifat titik kritikal (saya hanya akan memetik keputusan ini):

# (separa ^ 2f) / (separa x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

# (separa ^ 2f) / (separa y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

= (partial ^ 2f) / (separa x separa y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ (= (separa ^ 2f) / (separa y separa x)) #

Dan kita mesti mengira:

# Delta = (parsial ^ 2f) / (parsial x ^ 2) (parsial ^ 2f) / (parsial y ^ 2) - ((parsial ^ 2f) / (parsial x parsial y)

pada setiap titik kritikal. Nilai derivatif separa kedua, # Delta #, dan kesimpulan adalah seperti berikut:

# {: ("Titik Kritikal", (partial ^ 2f) / (parsial x ^ 2), (parsial ^ 2f) / (parsial y ^ 2) "Kesimpulan"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "tidak termasuk"):} #

Oleh itu, selepas semua kerja itu agak mengecewakan untuk mendapatkan hasil yang inklusif, tetapi jika kita mengkaji kelakuan di sekitar titik kritikal, kita dapat dengan mudah menetapkan bahawa ia adalah titik pelana.

Kita dapat melihat mata kritikal ini jika kita melihat plot 3D: