Apakah titik ekstrema dan pelana f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)?

Jawapan:

Penjelasan:

Kami ada:

# f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

Langkah 2 - Kenal pasti Kritikal

Titik kritikal berlaku pada penyelesaian serentak

# f_x = f_y = 0 iff (parsial f) / (parsial x) = (parsial f) / (parsial y) = 0 #

iaitu ketika:

# f_x = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 =

# => (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. A

Menyelesaikan A dan B secara serentak, kita mendapat penyelesaian tunggal:

# x = y = 1 #

Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa terdapat satu perkara penting:

# (1,1) #

Langkah 3 - Klasifikasikan perkara kritikal

Untuk mengklasifikasikan titik kritikal kami melakukan ujian yang serupa dengan satu kalkulator berubah menggunakan derivatif separa kedua dan Hessian Matrix.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((parsial ^ 2 f) / (parsial x ^ 2), (parsial ^ 2 f) / (parsial x parsial y)) / (separa y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Kemudian bergantung kepada nilai # Delta #:

# {: (Delta> 0, "ada maksimum jika" f_ (xx) <0), (dan "minimum jika" f_ (xx)> 0), (Delta <0,), (Delta = 0, "Analisis lebih lanjut diperlukan"):} #

Menggunakan macro excel adat, nilai-nilai fungsi bersama-sama dengan nilai-nilai derivatif separa dihitung seperti berikut: