Bilangan cara di mana pemeriksa boleh menetapkan 30 markah kepada 8 soalan yang diberi tidak kurang daripada 2 markah kepada apa-apa soalan?

Jawapan:

#259459200#

Penjelasan:

Jika saya membaca ini dengan betul, maka jika pemeriksa boleh menyerahkan markah hanya dalam gandaan 2. Ini kemudiannya bermakna terdapat hanya 15 pilihan daripada 30 markah.i.e. #30/2 = 15#

Kemudian kami mempunyai 15 pilihan yang diedarkan dalam 8 soalan.

Menggunakan formula untuk permutasi:

# (n!) / ((n - r)!) #

Di mana # n # adalah bilangan objek (Dalam kes ini tanda dalam kumpulan 2).

Dan # r # adalah berapa banyak yang diambil pada satu masa (Dalam kes ini 8 soalan)

Jadi kami mempunyai:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

Jawapan:

Disana ada # "" _ 21C_14 # (atau 116,280) cara.

Penjelasan:

Kami bermula dengan 30 markah dalam "bank" untuk memberi. Oleh sebab semua soalan mestilah bernilai sekurang-kurangnya 2 markah, kita ambil # 2 xx 8 = 16 # tanda dari #30# dan mengedarkannya sama. Sekarang setiap soalan mempunyai 2 (setakat ini) dan "bank" ditinggalkan #30-16=14# tanda.

Sekarang kita hanya perlu mencari bilangan cara untuk memisahkan 14 tanda selebihnya di antara 8 soalan. Pada mulanya, ini mungkin kelihatan sangat sukar, tetapi terdapat silap mata yang menjadikannya lebih intuitif.

Mari kita memudahkan perkara untuk seketika. Bagaimana jika kita hanya mempunyai 2 soalan, dan 14 markah untuk berpisah di antara mereka? Berapa banyak cara yang boleh kita lakukan? Nah, kita dapat membahagikan markah sebagai 14 + 0, atau 13 + 1, atau 12 + 2, dan sebagainya … atau 1 + 13, atau 0 + 14. Dengan kata lain, apabila kita hanya perlu memperkenalkan 1 perpecahan (antara 2 soalan), kami mendapat 15 cara untuk melakukannya.

Ini sama dengan bertanya, "Berapa banyak cara unik yang boleh kita sediakan 14 guli kuning (tanda) dan 1 marmar biru (splitter soalan) berturut-turut?" Jawapan untuk ini didapati dengan mengira bilangan permutasi semua 15 kelereng (iaitu #15!#), kemudian membahagikan dengan beberapa cara untuk membetulkan kedua-dua guli kuning #(14!)# dan kelereng biru #(1!)#, kerana dalam setiap susunan, tidaklah penting di mana memerintahkan kelereng identik muncul.

Jadi apabila terdapat 14 guli kuning (tanda) dan 1 marmar biru (splitter soalan), ada

# (15!) / (14! Xx1!) = (15xxcancel (14!)) / (Membatalkan (14!) Xx1) = 15/1 = 15 #

15 cara untuk mengatur kelereng (berpecah tanda). Nota: ini sama dengan # "" _ 15C_14 #.

Mari kita memperkenalkan satu lagi marmar biru-iaitu perpecahan kedua, atau persoalan ketiga untuk memberi tanda kepada. Sekarang kita mempunyai 16 guli total, dan kita ingin tahu berapa banyak cara unik yang kita dapat mengaturnya. Sama seperti sebelum ini, kami mengambil #16!# cara untuk mengatur semua kelereng, kemudian bahagikan dengan cara-cara untuk membenamkan kedua-dua kuning #(14!)# dan yang biru #(2!)#:

# (16!) / (14! Xx2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (Membatalkan (14!) Xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120 #

Jadi ada 120 cara untuk membahagi 14 markah antara 3 soalan. Ini juga sama dengan # "" _ 16C_14 #.

Sekarang, anda mungkin melihat di mana kita menuju. Nombor di sebelah kiri # C # sama dengan bilangan tanda yang kita berpecah (kelereng kuning) tambahnya bilangan pembahagi (kelereng biru). Bilangan pembahagi sentiasa ada satu kurang daripada bilangan soalan. Nombor di sebelah kanan # C # mengekalkan bilangan tanda.

Oleh itu, untuk membagi baki 14 markah di antara semua 8 soalan (yang memerlukan 7 pembahagi), kita mengira

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" _ 21C_14 #

#color (putih) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#color (putih) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116,280" #

Oleh itu, terdapat 116,280 cara untuk menetapkan 30 markah kepada 8 soalan, di mana setiap soalan bernilai sekurang-kurangnya 2 markah.