Jawapan:
Untuk pihak ketiga yang terpendek, kami memerlukan # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb # (dan itu # a # dan # b # mempunyai tanda yang sama).
Penjelasan:
Sisi terpanjang dari segitiga kanan selalu hipotenus. Jadi kita tahu panjang hypotenuse itu # a ^ 2 + b ^ 2. #
Biarkan panjang sampingan tidak diketahui # c. # Kemudian dari teorem Pythagorean, kita tahu
# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #
atau
# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #
#color (putih) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #
#color (putih) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #
#color (putih) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #
#color (putih) c = a ^ 2-b ^ 2 #
Kami juga memerlukan semua panjang sampingan menjadi positif, jadi
- # a ^ 2 + b ^ 2> 0 #
# => a! = 0 atau b! = 0 #
- # 2ab> 0 #
# => a, b> 0 atau a, b <0 #
- # c = a ^ 2-b ^ 2> 0 #
# <=> a ^ 2> b ^ 2 #
# <=> absa> absb #
Sekarang, untuk mana-mana segi tiga, sebelah terpanjang mestilah menjadi lebih pendek daripada jumlah daripada dua pihak yang lain. Jadi kami mempunyai:
#color (putih) (=>) 2ab + "" warna c (putih) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab warna (putih) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #
# => {(a> b "," if b> 0), (a <b "," if b <0):} #
Selanjutnya, untuk pihak ketiga menjadi terkecil, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #
atau # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # atau # a-b <sqrt2b # atau #a <b (1 + sqrt2) #
Menggabungkan semua sekatan ini, kita dapat menyimpulkan bahawa untuk pihak ketiga menjadi yang terpendek, kita mesti ada # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb dan (a, b <0 atau a, b> 0). #
