Bagaimanakah anda membuktikan (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sec x + tan x) ^ 2?

Jawapan:

Gunakan beberapa identiti trigmen dan mudahkan. Lihat di bawah.

Penjelasan:

Saya percaya ada kesilapan dalam soalan itu, tetapi ia bukan masalah besar. Agar ia masuk akal, soalan harus dibaca:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

Sama ada jalan, kita mulakan dengan ungkapan ini:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Semasa membuktikan identiti trig, biasanya lebih baik bekerja di sebelah yang mempunyai pecahan).

Mari kita gunakan helah rapi yang disebut pendaraban konjugasi, di mana kita membiak pecahan oleh penyebut konjugat:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

Konjugasi # a + b # adalah # a-b #, jadi conjugate of # 1 + sinx # adalah # 1-sinx #; kita berganda # (1-sinx) / (1-sinx) # untuk mengimbangi pecahan.

Perhatikan bahawa # (1 + sinx) (1-sinx) # sebenarnya perbezaan kotak, yang mempunyai harta:

# (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Di sini, kita melihatnya # a = 1 # dan # b = sinx #, jadi:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

Daripada Identiti Pythagorean # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, ia mengikuti (selepas menolak # sin ^ 2x # dari kedua-dua pihak), # cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

Wow, kami pergi # (1-sinx) / (1-sinx) # kepada # 1-sin ^ 2x # kepada # cos ^ 2x #! Sekarang masalah kami kelihatan seperti:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Mari kita tambah pengangka:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Ingat: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Sekarang, kami akan memecahkan pecahan:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Bagaimana untuk memudahkan itu ? Nah, ingat apabila saya berkata "Ingat: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Ternyata itu # sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # sebenarnya # (secx-tanx) ^ 2 #. Jika kita membiarkannya # a = secx # dan # b = tanx #, kita dapat melihat bahawa ungkapan ini adalah:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Yang, sebagaimana yang saya katakan adalah bersamaan dengan # (a-b) ^ 2 #. Gantikan # a # dengan # secx # dan # b # dengan # tanx # dan anda mendapat:

# sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Dan kami telah menyelesaikan prood:

# (secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #