Buktikan dengan induksi bahawa f (n) = 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) boleh dibahagikan dengan 5 untuk n dalam ZZ ^ +?

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Perhatikan bahawa untuk # m # ganjil kita ada

# (a ^ m + b ^ m) / (a + b) = a ^ (m-1) -a ^ (m-2) b + a ^ (m-3) b ^ 2 + cdots -ab ^ -2) + b ^ (m-1) #

yang menunjukkan pengesahan.

Sekarang dengan induksi terhingga.

Untuk #n = 1 #

#2+3 = 5# yang boleh dibahagikan.

sekarang mengandaikannya

# 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) # boleh dibahagikan

# 2 ^ (2 (n + 1) -1) + 3 ^ (2 (n + 1) -1) = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^

# = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 5 xx 3 ^ (2n-1) = #

# = 2 ^ 2 (2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1)) + 5 xx 3 ^ (2n-1) # yang boleh dibahagi oleh #5#

jadi ia benar.