Kami mempunyai: {1,2,3} -> {1,2} dan g: {1,2,3} -> {1,2,3,4}. Berapa banyak fungsi f dan g yang ada?

Jawapan:

# f # tidak boleh berlaku.

# g # boleh menjadi in dalam #24# cara.

Penjelasan:

Fungsi berfungsi jika tiada dua input memberikan keluaran yang sama. Dalam erti kata lain, sesuatu seperti

#f (x) = f (y), quad x ne y #

tidak boleh berlaku.

Ini bermakna, dalam hal domain dan kodomain yang terhingga, fungsi boleh menjadi inifs jika dan hanya jika domain lebih kecil daripada kododain (atau, paling banyak, sama), dari segi kardinaliti.

Inilah sebabnya # f # tidak boleh berlaku. Malah, anda boleh membetulkannya #f (1) # seperti yang anda suka. Katakanlah #f (1) = 1 #, sebagai contoh. Apabila memilih #f (2) #, kita tidak boleh mengatakan lagi #f (2) = 1 #, atau # f # tidak akan berlaku. Tetapi apabila ia datang #f (3) # kita tidak mempunyai pilihan, jika kita katakan #f (3) = 1 # kita ada #f (1) = f (3) #, dan jika kita katakan #f (3) = 2 # kita ada #f (2) = f (3) #.

Dalam erti kata lain, kita mesti menanggung salah satu daripada dua ouputs yang mungkin untuk setiap tiga input. Perlu jelas bahawa input tidak dapat memberikan output yang berbeza.

Selain itu # g # boleh jadi insi, kerana terdapat "ruang yang cukup": setiap tiga input dapat memilih salah satu daripada empat output sedemikian rupa sehingga tiada input yang berbeza memberikan keluaran yang sama.

Tetapi dalam berapa banyak cara? Nah, katakan kita mula lagi dengan #f (1) #. Kita boleh memilih mana-mana empat ouput untuk input ini, jadi kita boleh memilih #f (1) # dalam empat cara.

Apabila ia datang #f (2) #, kita kehilangan beberapa kebebasan: kita dapat memberikan nilai apa pun kepada #f (2) #, kecuali yang kami berikan #f (1) #, jadi kami ditinggalkan dengan dua pilihan. Sebagai contoh, jika kita menetapkannya #f (1) = 2 #, kemudian #f (2) # boleh jadi #1#, #3# atau #4#.

Dengan logik yang sama, kami mempunyai dua pilihan untuk #f (3) #: dari empat pilihan yang mungkin, kami menolak mereka yang sudah ditugaskan #f (1) # dan #f (3) #.

Jadi, kita boleh menentukan # g # dalam #4*3*2 = 24# cara seperti itu # g # adalah tidak masuk akal.