Bagaimana anda menemui semua penyelesaian 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0?

# 2 cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # untuk

# x dalam {(3pi) / 2 + 2npi, pi / 6 + 2npi, (5pi) / 6 + 2npi} # di mana #n dalam ZZ #

Selesaikan: # 2cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # (1)

Pertama, gantikan # cos ^ 2 x # oleh # (1 - sin ^ 2 x) #

# 2 (1 - sin ^ 2 x) - sin x - 1 = 0 #.

Panggilan # sin x = t #, kami ada:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

Ini adalah persamaan kuadrat bentuk # at ^ 2 + bt + c = 0 # yang boleh diselesaikan dengan jalan pintas:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

atau pemfaktoran kepada # - (2t-1) (t + 1) = 0 #

Satu akar sebenar ialah # t_1 = -1 # dan yang lainnya # t_2 = 1/2 #.

Seterusnya selesaikan 2 fungsi asas asas:

# t_1 = sin x_1 = -1 #

# rarr # # x_1 = pi / 2 + 2npi # (untuk #n dalam ZZ #)

dan

# t_2 = sin x_2 = 1/2 #

# rarr # # x_2 = pi / 6 + 2npi #

atau

# rarr # # x_2 = (5pi) / 6 + 2npi #

Semak dengan persamaan (1):

#cos (3pi / 2) = 0; dosa (3pi / 2) = -1 #

#x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (betul)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr 2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2; dosa (pi / 6) = 1/2 #.

#x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (betul)