Apakah maxima tempatan dan minima f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Jawapan:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Fungsi ini mempunyai asymptote menegak pada # x = 2 #, pendekatan #1# dari atas sebagai x pergi ke # + oo # (asymptote mendatar) dan pendekatan #1# dari bawah sebagai x pergi ke # -oo #. Semua derivatif tidak ditentukan di # x = 2 # juga. Terdapat satu minima tempatan di # x = 0 #, # y = 0 # (Semua masalah untuk asal!)

Perhatikan bahawa anda mungkin mahu memeriksa matematik saya, walaupun yang terbaik dari kami menjatuhkan tanda negatif yang ganjil dan ini adalah soalan yang panjang.

Penjelasan:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Fungsi ini mempunyai asymptote menegak pada # x = 2 #, kerana penyebutnya adalah sifar apabila # x = 2 #.

Ia mendekati #1# dari atas sebagai x pergi ke # + oo # (asymptote mendatar) dan pendekatan #1# dari bawah sebagai x pergi ke # -oo #, kerana nilai yang besar # x ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # dengan # x ^ 2> (x-2) ^ 2 # untuk #x> 0 # dan # x ^ 2 <(x-2) ^ 2 # untuk #x <0 #.

Untuk mencari maks / min kita memerlukan derivatif pertama dan kedua.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Gunakan peraturan quotient!

(x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2)) ^ 4}) #.

Menggunakan peraturan untuk kuasa dan peraturan rantai yang kami dapat:

(x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Kami sekarang menaikkan sedikit …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Sekarang derivatif kedua, dilakukan seperti yang pertama.

(x / 2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

(x-2) ^ 3 * 1 (x-2) } / (x-2) ^ 8 #

(x-2) ^ 3 * 1 (x-2) } / (x-2) ^ 8 #

Ia hodoh tetapi kita hanya perlu pasang dan ambil perhatian di mana ia berkelakuan buruk.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Fungsi ini tidak ditentukan pada # x = 2 #, asymptote itu, tetapi kelihatan baik di mana-mana sahaja.

Kami ingin tahu adalah max / min adalah …

kami menetapkan # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # ini sifar apabila pengangka adalah sifar dan jika penyebutnya tidak.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # atau # 4x (2-x) = 0 # Ini sifar di # x = 0 # dan # x = 2 #, tetapi kita tidak boleh mempunyai max / min adalah derivatif / fungsi tidak ditentukan, jadi satu-satunya kemungkinan # x = 0 #.

"ujian derivatif kedua"

Sekarang kita melihat derivatif kedua, hodoh kerana …

(x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Seperti fungsi dan derivatif pertama ini tidak jelas pada # x = 2 #, tetapi kelihatan baik di mana-mana sahaja.

Kami memasangkan # x = 0 # ke dalam # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, tidak sifar nombor yang indah untuk memasangkannya?

#=128/256# semua itu untuk #1/2#

#1/2 >0# jadi # x = 0 # adalah minima tempatan.

Untuk mencari nilai y kita perlu memasukkannya ke dalam fungsi.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Asal mula!