Apakah derivatif dari cot ^ 2 (x)?

JAWAPAN

# d / dx cot ^ 2 (x) = -2cot (x) csc ^ 2 (x) #

EXPLANATION

Anda akan menggunakan peraturan rantai untuk menyelesaikannya. Untuk melakukan itu, anda perlu menentukan fungsi "luar" dan apakah fungsi "dalaman" yang terdiri daripada fungsi luar.

Dalam kes ini, #cot (x) # adalah fungsi "batin" yang disusun sebagai sebahagian daripada # cot ^ 2 (x) #. Untuk melihatnya dengan cara lain, katakanlah # u = cot (x) # supaya itu # u ^ 2 = cot ^ 2 (x) #. Adakah anda perhatikan bagaimana fungsi komposit berfungsi di sini? Fungsi "luar" # u ^ 2 # segi empat segi fungsi dalaman # u = cot (x) #. Fungsi luar menentukan apa yang berlaku kepada fungsi dalaman.

Jangan biarkan # u # mengelirukan anda, itu hanya untuk menunjukkan kepada anda bagaimana satu fungsi adalah komposit yang lain. Anda tidak perlu menggunakannya. Sebaik sahaja anda memahami perkara ini, anda boleh memperolehnya.

Peraturan rantai adalah:

#F '(x) = f' (g (x)) (g '(x)) #

Atau, dengan kata-kata:

terbitan fungsi luar (dengan fungsi di dalamnya ditinggalkan sahaja!) kali terbitan fungsi dalaman.

1) Derivatif fungsi luar # u ^ 2 = cot ^ 2 (x) # (dengan fungsi dalam yang ditinggalkan sahaja) ialah:

# d / dx u ^ 2 = 2u #

(Saya akan pergi # u # dalam masa sekarang tetapi anda boleh menyambung # u = cot (x) # jika anda mahu semasa anda sedang melakukan langkah-langkah. Ingat bahawa ini hanyalah langkah-langkah, terbitan sebenar soalan ditunjukkan di bahagian bawah)

2) Derivatif fungsi dalaman:

# d / dx cot (x) = d / dx 1 / tan (x) = d / dx sin (x) / cos (x) #

Bertahan! Anda perlu membuat peraturan quotient di sini, kecuali anda telah menghafal terbitan #cot (x) #

# d / dx cos (x) / sin (x) = (- sin ^ 2 (x) -cos ^ 2x) / (sin ^ 2 (x) / (sin ^ 2 (x)) = -1 / (sin ^ 2 (x)) = -csc ^ 2 (x) #

Menggabungkan dua langkah melalui pendaraban untuk mendapatkan derivatif:

# d / dx cot ^ 2 (x) = -2cot (x) csc ^ 2 (x) #