Apakah vektor satuan yang ortogonal kepada satah yang mengandungi (-i + j + k) dan (3i + 2j - 3k)?

Jawapan:

Terdapat dua vektor unit di sini, bergantung kepada perintah operasi anda. Mereka adalah # (- 5i + 0j -5k) # dan # (5i + 0j 5k) #

Penjelasan:

Apabila anda mengambil produk salib dua vektor, anda mengira vektor yang ortogonal kepada dua yang pertama. Walau bagaimanapun, penyelesaian # vecAoxvecB # biasanya sama dan sebaliknya dalam magnitud # vecBoxvecA #.

Sebagai penyegar semula cepat, produk silang dari # vecAoxvecB # membina matriks 3x3 yang kelihatan seperti:

# | i j k | #

# | A_x A_y A_z | #

# | B_x B_y B_z | #

dan anda memperoleh setiap istilah dengan mengambil produk istilah pepenjataan dari kiri ke kanan, bermula dari huruf vektor satuan yang diberikan (i, j, atau k) dan menolak produk istilah pepenjataan dari kanan ke kiri, bermula dari surat vektor unit yang sama:

# (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

Untuk kedua-dua penyelesaian ini, mari tentukan:

#vecA = - i + j + k #

# vecB = 3i + 2j-3k #

Mari kita lihat kedua-dua penyelesaian:

# vecAoxvecB #

Seperti yang dinyatakan di atas:

# vecAoxvecB = (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

# vecAoxvecB = (1xx (-3) -1xx2) i + (1xx3 - (- 1) xx (-3)) j + (- 1 xx2-1xx3)

#vecAoxvecB = (- 3-2) i + (3-3) j + (- 2-3) k #

#color (merah) (vecAoxvecB = -5i + 0j-5k #

# vecBoxvecA #

Sebagai flip ke formulasi pertama, ambil diagonal lagi, tetapi matriks dibentuk secara berbeza:

# | i j k | #

# | B_x B_y B_z | #

# | A_x A_y A_z | #

# vecBoxvecA = (A_zxxB_y-A_yxxB_z) i + (A_x xxB_z-A_z xxBx) j + (A_y xxB_x-A_x xxB_y) k #

Perhatikan bahawa penolakan dikelilingi. Inilah yang menyebabkan bentuk 'Sama dan bertentangan'.

# vecBoxvecA = (1xx2-1xx (-3)) i + ((- 1) xx (-3) -1 xx3) j + (1 xx3 - (- 1) xx2)

# vecBoxvecA = (2 - (- 3)) i + (3-3) j + (3 - (- 2)) k #

#color (biru) (vecBoxvecA = 5i + 0j + 5k #

Apakah vektor satuan yang ortogonal kepada satah yang mengandungi (i + j - k) dan (i - j + k)?

Kita tahu bahawa jika vec C = vec A × vec B maka vec C adalah tegak lurus dengan kedua vec A dan vec B Jadi, apa yang kita perlukan hanya untuk mencari produk salib dua vektor yang diberikan. Jadi, vektor satuan adalah (-2 (hatk + hatk) = (hat-hatj hatk) hatj)) / (sqrt (2 ^ 2 + 2 ^ 2)) = - (hatk + hatj) / sqrt (2)

Apakah vektor satuan yang ortogonal kepada satah yang mengandungi <0, 4, 4> dan <1, 1, 1>?

Jawapannya ialah = <0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2> vektor yang berserenjang dengan 2 vektor lain diberikan oleh produk salib. <0,4,4> x <1,1,1> = | (hati, hatj, hatk), (0,4,4), (1,1,1) | = hati (0) -hatj (-4) + hatk (-4) = <0,4, -4> Pengesahan dengan melakukan produk dot <0,4,4>. <0,4, -4> = 0 + 16-16 = 0 <1,1,1>. <0,4, -4> = 0 + 4-4 = 0 Modulus <0,4, -4> adalah = <0,4, - 4> = sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt32 = 4sqrt2 Vektor unit diperoleh dengan membahagikan vektor dengan modulus = 1 / (4sqrt2) <0,4, -4> = <0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2>

Apakah vektor satuan yang ortogonal kepada satah yang mengandungi (20j + 31k) dan (32i-38j-12k)?

Vektor unit adalah == 1 / 1507.8 <938,992, -640> ortogonal vektor kepada 2 vektor dalam satah dikira dengan penentu | (veci, vecj, veck), (d, e, f), (g, h, i) | di mana <d, e, f> dan <g, h, i> adalah vektor 2 Di sini, kita mempunyai veca = <0,20,31> dan vecb = <32, -38, -12> Oleh itu, | (veci, vecj, veck), (0,20,31), (32, -38, -12) | = veci | (20,31), (-38, -12) | -vecj | (0,31), (32, -12) | + veck | (0,20), (32, -38) | = veci (20 * -12 + 38 * 31) -vecj (0 * -12-31 * 32) + veck (0 * -38-32 * 20) = <938,992, -640> = vecc Verifikasi dengan melakukan 2 dot produk <938,992, -640>. <