Bagaimana anda mempermudahkan (sec ^ 4x-1) / (sec ^ 4x + sec ^ 2x)?

Jawapan:

Sapukan Identiti Pythagorean dan teknik pemfaktoran pasangan untuk memudahkan ungkapan # sin ^ 2x #.

Penjelasan:

Ingat Identiti Pythagorean yang penting # 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x #. Kami akan memerlukannya untuk masalah ini.

Mari kita mulakan dengan pengangka:

# sec ^ 4x-1 #

Ambil perhatian bahawa ini boleh ditulis semula sebagai:

# (sec ^ 2x) ^ 2- (1) ^ 2 #

Ini sesuai dengan bentuk perbezaan kotak, # a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #, dengan # a = sec ^ 2x # dan # b = 1 #. Ia menjadi faktor:

# (sec ^ 2x-1) (sec ^ 2x + 1) #

Dari identiti # 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x #, kita dapat melihat pengurangan tersebut #1# dari kedua pihak memberikan kami # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Oleh itu, kita boleh menggantikannya # sec ^ 2x-1 # dengan # tan ^ 2x #:

# (sec ^ 2x-1) (sec ^ 2x + 1) #

# -> (tan ^ 2x) (sec ^ 2x + 1) #

Mari kita lihat penyebut:

# sec ^ 4x + sec ^ 2x #

Kita boleh faktor keluar a # sec ^ 2x #:

# sec ^ 4x + sec ^ 2x #

# -> sec ^ 2x (sec ^ 2x + 1) #

Tidak banyak lagi yang boleh kita lakukan di sini, jadi mari kita lihat apa yang ada sekarang:

# ((tan ^ 2x) (sec ^ 2x + 1)) / ((sec ^ 2x) (sec ^ 2x + 1)) #

Kita boleh melakukan beberapa pembatalan:

# ((tan ^ 2x) batal ((sec ^ 2x + 1))) / ((sec ^ 2x) batal ((sec ^ 2x + 1)) #

# -> tan ^ 2x / sec ^ 2x #

Sekarang kita menulis semula ini menggunakan hanya sinus dan kosinus dan memudahkan:

# tan ^ 2x / sec ^ 2x #

# -> (sin ^ 2x / cos ^ 2x) / (1 / cos ^ 2x) #

# -> sin ^ 2x / cos ^ 2x * cos ^ 2x #

# -> sin ^ 2x / cancel (cos ^ 2x) * membatalkan (cos ^ 2x) = sin ^ 2x #