Circle A mempunyai pusat di (3, 5) dan kawasan 78 pi. Circle B mempunyai pusat di (1, 2) dan kawasan 54 pi. Adakah lingkaran bertindih?

Jawapan:

Ya

Penjelasan:

Pertama, kita memerlukan jarak antara kedua-dua pusat, iaitu # D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

= D (sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 #

Sekarang kita memerlukan jumlah radii, kerana:

#D> (r_1 + r_2); "Kalangan tidak bertindih" #

# D = (r_1 + r_2); "Lingkaran hanya sentuh" #

#D <(r_1 + r_2); "Kalangan berganda" #

# pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# r_1 "" ^ 2 = 78 #

# r_1 = sqrt78 #

# pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# r_2 "" ^ 2 = 54 #

# r_2 = sqrt54 #

# sqrt78 + sqrt54 = 16.2 #

#16.2>3.61#, jadi bulatan bertindih.

Bukti:

(x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20.33, 19.67, -7.36, 12.64}

Jawapan:

Ini bertindih jika #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}. #

Kita boleh melangkau kalkulator dan periksa # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # atau #4(13)(54) > 11^2# yang sudah tentu, jadi ya, bertindih.

Penjelasan:

Kawasan lingkaran tentu saja #pi r ^ 2 # jadi kita membahagikan cara yang tidak sepatutnya # pi #s.

Kami mempunyai kuasa dua

# r_1 ^ 2 = 78 #

# r_2 ^ 2 = 54 #

dan jarak antara dua pusat

# d ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

Pada dasarnya kita mahu tahu sama ada # r_1 + r_2 ge d #, iaitu jika kita boleh membuat segitiga daripada dua jejari dan segmen antara pusat.

Panjang kuadrat adalah semua integer yang baik dan ia cukup gila bahawa kita semua secara naluriah menjangkau kalkulator atau komputer dan mula mengambil akar persegi.

Kita tidak perlu, tetapi memerlukan sedikit jalan memutar. Mari kita gunakan formula Heron, hubungi kawasan itu # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # di mana # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((a + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Itu sudah lebih baik daripada Heron. Tetapi kita teruskan. Saya akan melompat beberapa kebimbangan.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4)

Itu baik simetris, seperti yang kita harapkan untuk formula kawasan. Mari buatkannya kelihatan kurang simetris. Ingat

# (c ^ 2 - a ^ 2 b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

Menambah, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

Itulah formula untuk kawasan segi tiga segi tiga memandangkan panjang segi empat segi. Apabila yang kedua adalah rasional, begitu juga dengan bekas.

Mari cuba mencuba. Kami bebas menugaskan pihak tetapi kami suka; untuk pengiraan tangan yang terbaik untuk dibuat # c # bahagian terbesar, # c ^ 2 = 78 #

# a ^ 2 = 54 #

# b ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Walaupun sebelum mengira lagi, kita dapat melihat kita mempunyai positif # 16Q ^ 2 # jadi segitiga sebenar dengan kawasan yang positif, jadi lingkaran bertindih.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Sekiranya kita mendapat nilai negatif, kawasan khayalan, itu bukan segitiga sebenar, jadi lingkaran bukan bertindih.