Circle A mempunyai pusat di (6, 5) dan kawasan 6 pi. Circle B mempunyai pusat di (12, 7) dan kawasan 48 pi. Adakah lingkaran bertindih?

Jawapan:

Sejak

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # dan

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

kita boleh membuat segitiga sebenar dengan segi empat segi 48, 6 dan 40, maka lingkaran ini bersilang.

Penjelasan:

Kenapa tidak semestinya # pi #?

Kawasan ini #A = pi r ^ 2 # jadi # r ^ 2 = A / pi. # Jadi bulatan pertama mempunyai jejari # r_1 = sqrt {6} # dan yang kedua # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Pusat-pusat ini #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # selainnya.

Jadi lingkaran bertindih jika #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

Itu sangat hodoh bahawa anda akan diampunkan untuk mencapai kalkulator. Tetapi ia tidak perlu. Mari kita ambil jalan memutar dan lihat bagaimana ini dilakukan dengan menggunakan Trigonometri Rasional. Di sana kita hanya peduli dengan panjang kuadrat, yang dipanggil kuadran.

Katakan kita mahu menguji jika tiga kuadran # A, B, C # adalah kuadran antara tiga titik kollinear, iaitu #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # atau #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # atau #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. Kami akan menulisnya

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

Squaring, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Squaring lagi, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Kesudahannya

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

ialah diskriminasi untuk segitiga. Kami hanya menunjukkan jika #mathcal {A} = 0 # itu bererti kita mempunyai segitiga degenerate, terbentuk dari tiga titik kollinear. Jika #mathcal {A}> 0 # maka kita ada segitiga sebenar, setiap sisi kurang dari jumlah yang kedua. Jika #mathcal {A} <0 # kita tidak mempunyai pihak yang memenuhi ketidaksamaan segi tiga, dan kadang-kadang kita sebut ini segitiga khayalan.

Mari kita kembali ke soalan kami bersenjata dengan diskriminasi segitiga baru kami #mathcal {A} #. Sekiranya lingkaran bersilang kita boleh membuat segitiga dari dua pusat dan persimpangan, maka pihaknya akan mempunyai panjang # r_1 #, # r_2 #, dan jarak antara pusat #(6,5)# dan #(12,7)#. Kami ada

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # jadi kita mempunyai segitiga sebenar, i.e menampal lingkaran.

Oh yeah, untuk mana-mana segitiga #mathcal {A} = 16 (text {area}) ^ 2. #

Semak: Alpha

Circle A mempunyai pusat di (12, 9) dan kawasan 25 pi. Circle B mempunyai pusat di (3, 1) dan kawasan 64 pi. Adakah lingkaran bertindih?

Ya Pertama kita harus mencari jarak antara pusat-pusat kedua lingkaran. Ini kerana jarak ini adalah di mana lingkaran akan paling dekat bersama, jadi jika mereka bertindih ia akan berada di sepanjang garis ini. Untuk mencari jarak ini kita boleh menggunakan formula jarak: d = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) d = sqrt ((12-3) ^ 2 + (9-1) ^ 2 ) = sqrt (81 + 64) = sqrt (145) ~~ 12.04 Sekarang kita mesti mencari jejari setiap bulatan. Kita tahu kawasan bulatan adalah pir ^ 2, jadi kita boleh menggunakannya untuk menyelesaikan r. pi (r_1) ^ 2 = 25pi (r_1) ^ 2 = 25 r_1 = 5 pi (r_2) ^ 2 = 64pi (r_2) ^ 2 = 64 r_2 = 8 Akhirnya

Circle A mempunyai pusat di (3, 5) dan kawasan 78 pi. Circle B mempunyai pusat di (1, 2) dan kawasan 54 pi. Adakah lingkaran bertindih?

Ya Pertama, kita memerlukan jarak antara dua pusat, iaitu D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 Sekarang kita perlu jumlah radii, kerana: D> (r_1 + r_2); " D = (r_1 + r_2); "Lingkaran hanya menyentuh" D <(r_1 + r_2); "Lingkaran melakukan pertindihan" pir_1 "" ^ 2 = 78pi r2 " r_2 "" ^ 2 = 54 r_2 = sqrt54 sqrt78 + sqrt54 = 16.2 16.2> 3.61, jadi bulatan bertindih. Bukti: graf {(x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 [-20.33, 19.67, -7.36, 12.64]}

Circle A mempunyai pusat di (1, 5) dan kawasan 24 pi. Circle B mempunyai pusat di (8, 4) dan kawasan 66 pi. Adakah lingkaran bertindih?

Ya, lingkaran itu bertindih. Jarak dari pusat bulatan A ke pusat bulatan B = 5sqrt2 = 7.071 Jumlah radii mereka ialah = sqrt66 + sqrt24 = 13.023 Tuhan memberkati .... Saya berharap penjelasan berguna ..