Apakah mata ekstrema dan pelana f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Jawapan:

#(0,0)# adalah titik pelana

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # dan # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # adalah maxima tempatan

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # dan # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # adalah minima tempatan

# (0, 1 pm / sqrt 2) # dan # (pm 1 / sqrt 2.0) # adalah mata peredaran.

Penjelasan:

Untuk fungsi umum #F (x, y) # dengan titik pegun pada # (x_0, y_0) # kita mempunyai perkembangan siri Taylor

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) ldots #

Untuk fungsi itu

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

kita ada

# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2}

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2}

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Adalah mudah untuk melihat bahawa kedua-dua derivatif pertama lenyap pada ponrs berikut

• #(0,0)#
• # (0, 1 pm / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Untuk memeriksa sifat titik pegun ini, kita perlu melihat tingkah laku derivatif kedua di sana.

Sekarang

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

dan sebagainya

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

dan

= (x ^ 2 ^ 2) + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Jadi untuk #(0,0)# kita ada # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # dan # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - Oleh itu

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Jika anda mendekati #(0,0)# sepanjang garis # x = y #, ini berlaku

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

dan juga #(0,0)# adalah jelas sekurang-kurangnya jika anda mendekati dari arah ini. Sebaliknya, jika anda mendekati sepanjang garis # x = -y # kita ada

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

dan juga #(0,0)# adalah maksimum sepanjang arah ini, Oleh itu #(0,0)# ialah mata pelana.

Untuk # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # ia mudah dilihat

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # dan # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

yang bermaksud

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)

Jadi, fungsi ini berkurangan dengan cara yang mana sahaja anda beralih dari # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # dan ini adalah maksimum tempatan. Ia mudah dilihat bahawa perkara yang sama berlaku # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (ini sepatutnya jelas, kerana fungsi tetap sama di bawah # (x, y) ke (-x, -y) #!

Sekali lagi, untuk kedua-duanya # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # dan # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # kita ada

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # dan # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Oleh itu, kedua-dua titik ini adalah minima tempatan.

Empat mata # (0, 1 pm / sqrt2) # dan # (pm 1 / sqrt2, 0) # adalah lebih bermasalah - kerana semua derivatif pesanan kedua lenyap pada titik ini. Kita perlu melihat derivatif pesanan yang lebih tinggi. Mujurlah, kita tidak perlu bekerja keras untuk ini - hasil derivatif yang seterusnya

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

yang bukan sifar untuk kedua-duanya # (0, 1 pm / sqrt2) # dan # (pm 1 / sqrt2, 0) #. Sebagai contoh, ini bermakna, contohnya

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1 / 3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

yang menunjukkan bahawa ini akan meningkat dari # f (0,1 / sqrt 2) # dalam satu arah, dan menurunkannya daripada yang lain. Oleh itu # (0,1 / sqrt2) # adalah ** titik infleksi. Hujah yang sama berfungsi untuk tiga mata yang lain.