Apakah derivatif y = (sinx) ^ x?

Jawapan:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Penjelasan:

Gunakan pembezaan logaritma.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Gunakan sifat # ln #)

Berbeda dengannya: (Gunakan peraturan produk dan rantai rantai)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Jadi, kita ada:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Selesaikan # dy / dx # dengan mendarabkan oleh #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Jawapan:

# d / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Penjelasan:

Cara paling mudah untuk melihatnya ialah menggunakan:

# (sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x)) = e ^ (xln (sinx)) #

Mengambil derivatif ini memberi:

# d / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (xln (sinx)) #

# = (ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + x (d / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Sekarang kita perlu ambil perhatian bahawa jika # (sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # tidak jelas.

Walau bagaimanapun, apabila kita menganalisis kelakuan fungsi sekitar # x #untuk yang dipegang oleh ini, kami mendapati bahawa fungsi itu berfungsi dengan baik untuk ini berfungsi, kerana, jika:

# (sinx) ^ x # pendekatan 0

maka:

#ln ((sinx) ^ x) # akan mendekati # -oo #

jadi:

# e ^ (ln ((sinx) ^ x)) # akan mendekati 0 juga

Tambahan pula, kami perhatikan bahawa jika #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # akan menjadi nombor kompleks; Walau bagaimanapun, semua algebra dan kalkulus yang kita telah kerjakan dalam pesawat kompleks juga, jadi ini tidak menjadi masalah.

Jawapan:

Secara umumnya…

Penjelasan:

(x) + g '(x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #