Bagaimanakah saya memudahkan (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

Jawapan:

# cos ^ 5x #

Penjelasan:

Jenis masalah ini sebenarnya tidak begitu buruk apabila anda menyedari bahawa ia melibatkan sedikit algebra!

Pertama, saya akan menulis semula ungkapan yang diberikan untuk membuat langkah-langkah berikut lebih mudah difahami. Kami tahu itu # sin ^ 2x # adalah cara yang mudah untuk ditulis # (sin x) ^ 2 #. Begitu juga, # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

Sekarang kita boleh menulis semula ungkapan asal.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

Sekarang, inilah bahagian yang melibatkan algebra. Biarkan #sin x = a #. Kita boleh menulis # (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 # sebagai

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

Adakah ini kelihatan biasa? Kami hanya perlu faktor ini! Ini adalah trinomial persegi sempurna. Sejak # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, kita boleh kata

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Sekarang, beralih kepada keadaan asal. Pengganti semula #sin x # untuk # a #.

# (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (warna (biru) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

Kita kini boleh menggunakan identiti trigonometrik untuk memudahkan terma dalam warna biru. Menetapkan semula identiti # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, kita mendapatkan #color (biru) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (warna (biru) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Sekali kita menguasai ini, tanda-tanda negatif membiak menjadi positif.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = cos ^ 5x #

Oleh itu, # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.