Selesaikan x di RR persamaan sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Jawapan:

#x dalam 5, 10 #

Penjelasan:

Biarkan # u = x-1 #. Kita boleh menulis semula sebelah kiri persamaan sebagai

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Perhatikan kehadiran #sqrt (u) # dalam persamaan dan bahawa kita hanya mencari nilai sebenar, jadi kita mempunyai sekatan #u> = 0 #. Dengan itu, kami akan mempertimbangkan kesemua kes yang tinggal:

Kes 1: # 0 <= u <= 4 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

Oleh itu # u = 4 # adalah satu-satunya penyelesaian dalam selang #0, 4#

Kes 2: # 4 <= u <= 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Oleh kerana ini tautologi, setiap nilai dalam #4, 9# adalah satu penyelesaian.

Kes 3: #u> = 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

Oleh itu #u = 9 # adalah satu-satunya penyelesaian dalam selang # 9, oo) #

Diambil bersama, kita ada #4, 9# sebagai penyelesaian yang ditetapkan untuk nilai sebenar # u #. Menggantikan dalam #x = u + 1 #, kami tiba di set penyelesaian akhir #x dalam 5, 10 #

Melihat grafik sebelah kiri, ini sepadan dengan apa yang kita harapkan: