Apakah produk silang? - Algebra 2024

Jawapan:

Lihat penjelasan …

Penjelasan:

Apabila anda menghadapi vektor masuk #3# dimensi maka anda bertemu dua cara untuk mendarabkan dua vektor bersama-sama:

Produk silang

Ditulis #vec (u) xx vec (v) #, ini mengambil dua vektor dan menghasilkan vektor tegak lurus kepada kedua-dua mereka, atau vektor sifar jika #vec (u) # dan #vec (v) # selari.

Jika #vec (u) = <u_1, u_2, u_3> # dan #vec (v) = <v_1, v_2, v_3> # maka:

uvv (v) = <u_2v_3-u_3v_2, warna (putih) (.) u_3v_1-u_1v_3, warna (putih) (.) u_1v_2-u_2v_1>

Ini kadang-kadang diterangkan dari segi penentu a # 3 xx 3 # matriks dan tiga unit vektor #hat (i) #, #hat (j) #, #hat (k) #:

(v) = abs ((hat (i), hat (j), hat (k)), (u_1, u_2, u_3), (v_1, v_2, v_3) # #

Bagaimana dengan pembahagian?

Produk dot atau produk salib tidak membenarkan pembahagian vektor. Untuk mencari cara untuk membahagikan vektor, anda boleh melihat quaternions. Quaternions membentuk a #4# ruang vektor dimensi ke atas nombor sebenar dan mempunyai aritmetik dengan pendaraban bukan komutatif yang boleh dinyatakan sebagai gabungan produk dot dan produk salib. Sebenarnya itu adalah cara yang salah, kerana aritmetik quaternion meramalkan pembentangan moden vektor, titik dan salib.

Bagaimanapun, kita boleh mengatakan bahawa kuaternion boleh ditulis sebagai kombinasi sebahagian skalar dan bahagian vektor, dengan aritmetik yang ditakrifkan oleh:

# (r_1, vec (v_1)) + (r_2, vec (v_2)) = (r_1 + r_2, vec (v_1) + vec (v_2)

# (r_1, vec (v_1)) * (r_2, vec (v_2)) = (r_1 r_2 - vec (v_1) * vec (v_2), r_1 vec (v_2) vec (v_2)) #

Untuk perbualan yang sangat menarik, nonton …

Kehidupan Sebelum Vektor

Apakah produk silang [0,8,5] dan [1,2, -4]?

[0,8,5] xx [1,2, -4] = [-42,5, -8] Produk salib vecA dan vecB diberikan oleh vecA xx vecB = || vecA || * || vecB || * sin (theta) hatn, di mana theta adalah sudut positif antara vecA dan vecB, dan hatn adalah vektor satuan dengan arah yang diberikan oleh aturan tangan kanan. Untuk unit vektor hati, hatj dan hatk dalam arah x, y dan z masing-masing, warna (putih) ((warna (hitam) {hati xx hati = vec0}, warna (hitam) {qquad hati xx hatj = hatk} , warna (hitam) {qquad hati xx hatk = -hatj}), (warna (hitam) {hatj xx hati = -hatk}, warna (hitam) {qquad hatj xx hatj = vec0} xx hatk = hati}), (warna (hitam) {hatk xx hati = hatj},

Apakah produk silang [-1,0,1] dan [0,1,2]?

Produk salib adalah = <- 1,2, -1> Produk silang dihitung dengan penentu | (veci, vecj, veck), (d, e, f), (g, h, i) | di mana <d, e, f> dan <g, h, i> adalah vektor 2 Di sini, kita mempunyai veca = <- 1,0,1> dan vecb = <0,1,2> (veci, vecj, veck), (-1,0,1), (0,1,2) | = veci | (0,1), (1,2) | -vecj | (-1,1), (0,2) | + veck | (-1,0), (0,1) | = veci (-1) -vecj (-2) + veck (-1) = <- 1,2, -1> = vecc Pengesahan dengan melakukan 2 produk dot <-1,2, -1> <- 1, 0,1> = 1 + 0-1 = 0 <-1,2, -1>. <0,1,2> = 0 + 2-2 = 0 Jadi, vecc adalah tegak lurus dengan veca dan vecb

Apakah produk silang [-1, -1, 2] dan [-1, 2, 2]?

[-1, -1,2] xx [-1,2,2] = [-6, 0, -3] Produk salib di antara dua vektor vecA dan vecB ditakrifkan sebagai vecA xx vecB = || vecA || * || vecB || * sin (theta) * hatn, di mana hatn adalah vektor unit yang diberikan oleh peraturan tangan kanan, dan theta adalah sudut antara vecA dan vecB dan harus memenuhi 0 <= theta <= pi. Bagi vektor unit hati, hatj dan hatk dalam arah x, y dan z masing-masing, dengan menggunakan definisi produk salib di atas memberikan set keputusan berikut. warna (putih) ((warna (hitam) {hati xx hati = vec0}, warna (hitam) {qquad hati xx hatj = hatk}, warna (hitam) {qquad hati xx hatk = ) {hatj xx h