Apa itu eigenvector? + Contoh

Jawapan:

Jika vektor # v # dan transformasi linear ruang vektor # A # seperti itu #A (v) = k * v # (di mana tetap # k # dipanggil nilai eigen), # v # dipanggil eigenvector transformasi linear # A #.

Penjelasan:

Bayangkan transformasi linear # A # meregangkan semua vektor dengan faktor #2# dalam ruang tiga dimensi. Mana-mana vektor # v # akan berubah menjadi # 2v #. Oleh itu, untuk transformasi ini semua vektor adalah eigenvectors dengan nilai eigen daripada #2#.

Pertimbangkan satu putaran ruang tiga dimensi sekitar paksi Z dengan sudut # 90 ^ o #. Jelas sekali, semua vektor kecuali yang berada di sepanjang paksi Z akan mengubah arah dan, oleh itu, tidak boleh eigenvectors. Tetapi vektor-vektor tersebut di sepanjang paksi Z (koordinat mereka adalah bentuk # 0,0, z #) akan mengekalkan arah dan panjang mereka, oleh itu mereka eigenvectors dengan nilai eigen daripada #1#.

Akhir sekali, pertimbangkan satu putaran oleh # 180 ^ o # dalam ruang tiga dimensi sekitar paksi Z. Seperti dahulu, semua vektor panjang Z-axis tidak akan berubah, jadi mereka eigenvectors dengan nilai eigen daripada #1#.

Di samping itu, semua vektor dalam satah XY (koordinat mereka adalah bentuk # x, y, 0 #) akan mengubah arah ke arah yang bertentangan, sambil mengekalkan panjangnya. Oleh itu, mereka juga eigenvectors dengan nilai eigen daripada #-1#.

Apa-apa transformasi linear ruang vektor boleh dinyatakan sebagai pendaraban vektor dengan matriks. Sebagai contoh, contoh pertama peregangan digambarkan sebagai pendaraban oleh matriks # A #

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

Matriks sedemikian, didarabkan dengan mana-mana vektor # v = {x, y, z} # akan menghasilkan # A * v = {2x, 2y, 2z} #

Ini jelas sama dengan # 2 * v #. Jadi, kita ada

# A * v = 2 * v #, yang membuktikan bahawa mana-mana vektor # v # adalah eigenvector dengan nilai eigen #2#.

Contoh kedua (putaran oleh # 90 ^ o # sekitar paksi Z) boleh digambarkan sebagai pendaraban oleh matriks # A #

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

Matriks sedemikian, didarabkan dengan mana-mana vektor # v = {x, y, z} # akan menghasilkan # A * v = {- y, x, z} #, yang boleh mempunyai arah yang sama seperti vektor asal # v = {x, y, z} # hanya jika # x = y = 0 #, iaitu jika vektor asal diarahkan sepanjang paksi Z.