Pada selang apa persamaan berikut adalah cekung, cekung ke bawah dan di mana titik infleksinya adalah (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Jawapan:

• jika # 0 <x <e ^ (- 15/56) # kemudian # f # adalah cekung turun;
• jika # x> e ^ (- 15/56) # kemudian # f # adalah cekung;
• # x = e ^ (- 15/56) # ialah titik kejatuhan (jatuh)

Penjelasan:

Untuk menganalisis titik konkur dan titik infleksi dari fungsi dua kali ganda yang berbeza # f #, kita boleh mengkaji positiviti derivatif kedua. Malah, jika # x_0 # adalah titik dalam domain # f #, maka:

• jika #f '' (x_0)> 0 #, kemudian # f # adalah cekung dalam lingkungan kejiranan # x_0 #;
• jika #f '' (x_0) <0 #, kemudian # f # adalah cekung turun dalam lingkungan kejiranan # x_0 #;
• jika #f '' (x_0) = 0 # dan tanda #f '' # pada kawasan kejiranan kanan yang cukup kecil # x_0 # adalah bertentangan dengan tanda #f '' # pada kawasan kejiranan kiri yang cukup kecil # x_0 #, kemudian # x = x_0 # dipanggil titik infleksi daripada # f #.

Dalam kes tertentu #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, kita mempunyai fungsi yang domainnya harus terhad kepada reals positif #RR ^ + #.

Derivatif pertama ialah

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

Derivatif kedua ialah

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

Mari kita teliti sikap positif #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Oleh itu, mengingati domain itu #RR ^ + #, kita mendapatnya

• jika # 0 <x <e ^ (- 15/56) # kemudian #f '' (x) <0 # dan # f # adalah cekung turun;
• jika # x> e ^ (- 15/56) # kemudian #f '' (x)> 0 # dan # f # adalah cekung;
• jika # x = e ^ (- 15/56) # kemudian #f '' (x) = 0 #. Memandangkan bahawa di sebelah kiri titik ini #f '' # adalah negatif dan di sebelah kanan adalah positif, kami menyimpulkan bahawa # x = e ^ (- 15/56) # ialah titik kejatuhan (jatuh)