Z1 + z2 = z1 + z2 jika dan hanya jika arg (z1) = arg (z2), di mana z1 dan z2 adalah nombor kompleks. bagaimana? sila jelaskan!

Jawapan:

Sila rujuk kepada Perbincangan di dalam Penjelasan.

Penjelasan:

Katakanlah, # | z_j | = r_j; r_j gt 0 dan arg (z_j) = theta_j dalam (-pi, pi; (j = 1,2). #

#:. z_j = r_j (costheta_j + isintheta_j), j = 1,2. #

Jelas sekali, # (z_1 + z_2) = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) + r_2 (costheta_2 + isintheta_2), #

# = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) + i (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2). #

Ingatlah bahawa, # z = x + iy rArr | z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. #

#:. | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) ^ 2 + (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2) ^ 2, #

# = r_1 ^ 2 (cos ^ 2theta_1 + sin ^ 2theta_1) + r_2 ^ 2 (cos ^ 2theta_2 + sin ^ 2theta_2) + 2r_1r_2 (costheta_1costheta_2 + sintheta_1sintheta_2), #

# = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2), #

#rArr | z_1 + z_2 | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) …. (star ^ 1) #.

# "Sekarang Memandangkan itu," | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 |, #

#if | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (| z_1 | + | z_2 |) ^ 2 = | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + 2 | z_1 || z_2 |, i.e..

# | (z_1 + z_2) | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2 ……. (star ^ 2). #

Dari # (bintang ^ 1) dan (bintang ^ 2) # kita mendapatkan, # 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) = r_1r_2. #

# "Membatalkan" r_1r_2 gt 0, cos (theta_1-theta_2) = 1 = cos0. #

#:. (theta_1-theta_2) = 2kpi + -0, k dalam ZZ. #

# "Tetapi," theta_1, theta_2 dalam (pi, pi, theta_1-theta_2 = 0, atau, #

# theta_1 = theta_2, "giving," arg (z_1) = arg (z_2), # sebagai dikehendaki!

Oleh itu, kami telah menunjukkan bahawa, # | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 | rArr arg (z_1) = arg (z_2). #

The bercakap boleh dibuktikan pada baris yang serupa.

Nikmati Matematik.!