Bagaimana untuk mengira ini? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Contoh

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Malangnya, fungsi dalam integral tidak akan disatukan kepada sesuatu yang tidak boleh dinyatakan dari segi fungsi asas. Anda perlu menggunakan kaedah berangka untuk melakukan ini.

Saya dapat menunjukkan kepada anda cara menggunakan pengembangan siri untuk mendapatkan nilai anggaran.

Mulakan dengan siri geometri:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n # untuk # rlt1 #

Sekarang sertai dengan hormat # r # dan menggunakan had #0# dan # x # untuk mendapatkan ini:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Mengintegrasikan sebelah kiri:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Sekarang, sambungkan sebelah kanan dengan mengintegrasikan istilah dengan istilah:

# int_0 ^ x 1 + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Jadi ia mengikuti bahawa:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Sekarang bahagikan oleh # x #:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

Oleh itu, kami kini mempunyai ungkapan siri kuasa untuk fungsi yang kami mulakan dengan asalnya. Akhir sekali, kita dapat mengintegrasikan lagi untuk mendapatkan:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #

Mengintegrasikan istilah tangan kanan dengan istilah istilah memberi kami:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

Menilai had kepada empat syarat akan memberi kita nilai anggaran:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Kini, ini hanya untuk empat syarat. Jika anda ingin nombor yang lebih tepat, gunakan lebih banyak istilah dalam siri ini. Sebagai contoh, pergi ke terma ke-100:

# int_0 ^ 1ln (1-x) /x~~-1.63498#

Sebagai tambahan, jika anda bekerja melalui proses yang sama tetapi menggunakan notasi penjumlahan (iaitu dengan sigma besar daripada menulis syarat-syarat siri) anda akan mendapati bahawa:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

yang hanya fungsi Riemann-Zeta 2, iaitu:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

Kami sebenarnya sudah mengetahui nilai ini untuk: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Oleh itu nilai sebenar integral dapat disimpulkan sebagai:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #