Apakah titik ekstrema dan pelana f (x, y) = xy (1-x-y)?

Jawapan:

Mata-mata #(0,0),(1,0)#, dan #(0,1)# adalah mata pelana. Tujuan itu #(1/3,1/3)# adalah titik maksimum tempatan.

Penjelasan:

Kita boleh berkembang # f # kepada #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. Seterusnya, cari derivatif separa dan tetapkannya sama dengan sifar.

# frac { partial f} { partial x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac { partial f} { partial y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Jelas sekali, # (x, y) = (0,0), (1,0), # dan #(0,1)# adalah penyelesaian kepada sistem ini, dan begitu juga titik kritikal # f #. Penyelesaian lain boleh didapati dari sistem # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. Menyelesaikan persamaan pertama untuk # y # dari segi # x # memberi # y = 1-2x #, yang boleh dimasukkan ke dalam persamaan kedua untuk mendapatkan # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. Dari sini, # y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # juga.

Untuk menguji sifat titik kritikal ini, kita dapati derivatif kedua:

# frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} = - 2y #, # frac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2}} = - 2x #, dan # partial ^ {2} f} { partial x partial y} = frac { partial ^ {2} f} { partial y partial x} = 1-2x-2y #.

Oleh itu, diskriminasi adalah:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Memasang tiga titik kritikal pertama dalam memberikan:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, dan #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, menjadikan titik-titik pelana mata ini.

Pemadaman di titik kritikal terakhir memberi #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. Juga ambil perhatian bahawa # frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. Oleh itu, #(1/3,1/3)# adalah lokasi nilai maksimum tempatan # f #. Anda boleh menyemak nilai maksimum tempatan itu sendiri #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Di bawah ini adalah gambar peta kontur (lengkung tahap) # f # (lengkung di mana keluaran dari # f # adalah malar), bersama dengan 4 titik kritikal # f #.