Apakah titik ekstrema dan pelana f (x, y) = xy (1-x-y)?

Jawapan:

Mata-mata #(0,0),(1,0)#, dan #(0,1)# adalah mata pelana. Tujuan itu #(1/3,1/3)# adalah titik maksimum tempatan.

Penjelasan:

Kita boleh berkembang # f # kepada #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. Seterusnya, cari derivatif separa dan tetapkannya sama dengan sifar.

# frac { partial f} { partial x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac { partial f} { partial y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Jelas sekali, # (x, y) = (0,0), (1,0), # dan #(0,1)# adalah penyelesaian kepada sistem ini, dan begitu juga titik kritikal # f #. Penyelesaian lain boleh didapati dari sistem # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. Menyelesaikan persamaan pertama untuk # y # dari segi # x # memberi # y = 1-2x #, yang boleh dimasukkan ke dalam persamaan kedua untuk mendapatkan # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. Dari sini, # y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # juga.

Untuk menguji sifat titik kritikal ini, kita dapati derivatif kedua:

# frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} = - 2y #, # frac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2}} = - 2x #, dan # partial ^ {2} f} { partial x partial y} = frac { partial ^ {2} f} { partial y partial x} = 1-2x-2y #.

Oleh itu, diskriminasi adalah:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Memasang tiga titik kritikal pertama dalam memberikan:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, dan #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, menjadikan titik-titik pelana mata ini.

Pemadaman di titik kritikal terakhir memberi #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. Juga ambil perhatian bahawa # frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. Oleh itu, #(1/3,1/3)# adalah lokasi nilai maksimum tempatan # f #. Anda boleh menyemak nilai maksimum tempatan itu sendiri #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Di bawah ini adalah gambar peta kontur (lengkung tahap) # f # (lengkung di mana keluaran dari # f # adalah malar), bersama dengan 4 titik kritikal # f #.

Apakah titik ekstrema dan pelana f (x, y) = x ^ 3y + 36x ^ 2 - 8y?

Lihat jawapan di bawah: Kredit: Terima kasih kepada Graphing Calculator 3D (http://www.runiter.com/graphing-calculator/) yang menyediakan perisian untuk merancang fungsi 3D dengan hasilnya.

Apakah titik ekstrema dan pelana f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)?

Kami mempunyai: f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) Langkah 1 - Cari Derivatif Separa Kami mengira derivatif separa fungsi dua atau lebih pemboleh ubah dengan membezakan wrt satu pemboleh ubah, sementara pemboleh ubah lain dianggap sebagai malar. Oleh itu: Derivatif Pertama adalah: f_x = {(x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (2 (x + y + 1)) - ((x + y + 1) ^ 2) (2x) ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (x + y + 1) - 2x (x + y + 1) ^ 2} ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (x ^ 2 + y ^ 2 + 1- x ^ 2-xy-x) y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 f_y = (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (2 (x + y +

Apakah titik ekstrema dan pelana f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Fungsi ini tidak mempunyai mata pegun (adakah anda pasti bahawa f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x adalah yang anda ingin belajar ?!). Menurut definisi yang paling disebarkan pada mata pelana (titik pegun yang bukan ekstrim), anda mencari titik pegun fungsi dalam domainnya D = (x, y) dalam RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) dalam RR ^ 2}. Sekarang kita boleh menulis semula ungkapan yang diberikan untuk f dengan cara berikut: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Cara untuk mengenalinya ialah mencari titik-titik yang membatalkan kecerunan f, iaitu vektor derivatif separa: nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del