Mengapa anda perlu mencari bentuk trigonometri nombor kompleks?

Bergantung pada apa yang perlu anda lakukan dengan nombor kompleks anda, bentuk trigonometrik boleh menjadi sangat berguna atau sangat berduri.

Contohnya, mari # z_1 = 1 + i #, # z_2 = sqrt (3) + i # dan # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Mari kita mengira dua bentuk trigonometrik:

# theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # dan # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # dan # rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # dan # rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Jadi bentuk trigonometri adalah:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + saya dosa (2/3 pi)) #

Tambahan

Katakan anda ingin mengira # z_1 + z_2 + z_3 #. Jika anda menggunakan borang algebra, anda dapat

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {

Cukup mudah. Sekarang cuba dengan bentuk trigonometri …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) +2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 2/3 pi) + saya dosa (2/3 pi)) #

ternyata bahawa cara terpendek untuk menambah kedua ungkapan ini adalah untuk menyelesaikan kosinus dan sine, yang bermaksud … beralih kepada bentuk algebra!

Bentuk algebra sering merupakan bentuk terbaik untuk memilih dalam menambah bilangan kompleks.

Pendaraban

Sekarang kita cuba untuk mengira # z_1 * z_2 * z_3 #. Menggunakan borang algebra memerlukan banyak pengiraan yang menjengkelkan. Tetapi menyelesaikan produk ini dengan bentuk trigonometri adalah lebih mudah:

(cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (pi / 4) + i sin (pi / +3 dosa (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + saya dosa (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + saya dosa (13/12 pi)) #

Bahan-bahan untuk membuktikan bahawa persamaan kedua memegang berasal dari trigonometri: keduanya formula tambahan

#sin (alpha + beta) = sin (alfa) cos (beta) + sin (beta) cos (alpha) #

#cos (alpha + beta) = cos (alpha) cos (beta) -sin (alpha) sin (beta) #

Pendaraban nombor kompleks bahkan lebih bersih (tetapi secara konseptual tidak lebih mudah) dalam bentuk eksponen.

Dalam erti kata lain, bentuk trigonometri adalah sejenis bentuk antara antara algebra dan bentuk eksponen. Bentuk trigonometri adalah cara untuk menukar antara kedua-dua. Dalam erti kata lain, ia adalah sejenis "kamus" untuk "menterjemahkan" bentuk.