Dua sudut segi tiga mempunyai sudut (2 pi) / 3 dan (pi) / 4. Sekiranya satu sisi segi tiga mempunyai panjang 4, apakah perimeter yang paling lama segitiga?

Jawapan:

# P_max = 28.31 # unit

Penjelasan:

Masalahnya memberikan anda dua daripada tiga sudut dalam segitiga sewenang-wenangnya. Oleh kerana jumlah sudut dalam segitiga mesti menambah sehingga 180 darjah, atau # pi # radian, kita dapat mencari sudut ketiga:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# x = pi- (2pi) / 3-pi / 4 #

# x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# x = pi / 12 #

Mari kita lukis segi tiga:

Masalahnya menyatakan bahawa salah satu sisi segitiga mempunyai panjang 4, tetapi tidak menentukan sebelah mana. Walau bagaimanapun, dalam mana-mana segitiga tertentu, adalah benar bahawa terkecil sebelah akan bertentangan dari sudut terkecil.

Sekiranya kita ingin memaksimumkan perimeter, kita harus membuat sisi dengan panjang 4 sisi bertentangan dari sudut terkecil. Oleh kerana kedua-dua pihak yang lain akan lebih besar daripada 4, ia menjamin bahawa kita akan memaksimumkan perimeter itu. Oleh itu, segitiga di luar menjadi:

Akhirnya, kita boleh menggunakan undang-undang sines untuk mencari panjang dua sisi yang lain:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

Mengepung, kami dapat:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2pi) / 3) / y #

Penyelesaian untuk x dan y kita dapat:

# x = 10.93 # dan # y = 13.38 #

Oleh itu, perimeter maksimum adalah:

# P_max = 4 + 10.93 + 13.38 #

# P_max = 28.31 #

Catatan: Oleh kerana masalah tidak menentukan unit panjang pada segitiga, gunakan "unit" sahaja.