Terdapat 7 kanak-kanak di dalam bilik darjah. Dalam berapa banyak cara mereka boleh beratur untuk berehat?

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

Masalah khusus ini adalah a permutasi. Ingatlah, perbezaan antara permutasi dan kombinasi adalah, dengan permutasi, hal-hal pesanan. Memandangkan soalan itu bertanya berapa banyak cara pelajar dapat berbaris untuk istirahat (iaitu berapa banyak pesanan yang berbeza), ini adalah permutasi.

Bayangkan buat masa ini bahawa kami hanya mengisi dua jawatan, kedudukan 1 dan kedudukan 2. Untuk membezakan antara pelajar kami, kerana perkara yang penting, kami akan memberikan setiap surat dari A ke G. Sekarang, jika kami mengisi jawatan ini satu Pada satu masa, kami mempunyai tujuh pilihan untuk mengisi kedudukan pertama: A, B, C, D, E, F, dan G. Walau bagaimanapun, apabila kedudukan itu diisi, kami hanya mempunyai enam pilihan untuk yang kedua, kerana salah satu pelajar telah diletakkan.

Contohnya, katakan A berada dalam kedudukan 1. Kemudian pesanan kami yang mungkin untuk dua kedudukan kami ialah AB (iaitu kedudukan 1 dan B pada kedudukan 2), AC, AD, AE, AF, AG. Walau bagaimanapun … ini tidak menyumbang semua pesanan yang mungkin di sini, kerana terdapat 7 pilihan untuk kedudukan pertama. Oleh itu, jika B berada pada posisi 1, kita akan mempunyai kemungkinan sebagai BA, BC, BD, BE, BF, dan BG. Oleh itu, kita banyakkan bilangan pilihan kami bersama-sama: #7*6 = 42#

Melihat kembali masalah permulaan, terdapat 7 orang pelajar yang boleh ditempatkan di kedudukan 1 (sekali lagi, mengandaikan bahawa kita mengisi jawatan 1 hingga 7 dalam urutan). Sekiranya kedudukan 1 dipenuhi, 6 pelajar boleh diletakkan di kedudukan 2. Dengan kedudukan 1 dan 2 diisi, 5 boleh diletakkan di kedudukan 3, dan seterusnya, sehingga hanya satu pelajar boleh diletakkan di kedudukan terakhir. Oleh itu, mengalikan bilangan pilihan kami bersama-sama, kami dapat #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

Untuk formula yang lebih umum untuk mencari bilangan permutasi # n # objek diambil # r # pada satu masa, tanpa pengganti (iaitu, pelajar dalam kedudukan 1 tidak kembali ke kawasan menunggu dan menjadi pilihan untuk kedudukan 2), kita cenderung menggunakan formula:

Bilangan permutasi = # "n!" / "(n-r)!" #.

dengan # n # bilangan objek, # r # bilangan jawatan yang akan diisi, dan #!# simbol untuk factorial, operasi yang bertindak pada integer bukan negatif # a # seperti itu #a! # = #atimes (a-1) kali (a-2) kali (a-3) kali … kali (1) #

Oleh itu, menggunakan formula kami dengan masalah asal, di mana kami mempunyai 7 pelajar yang diambil 7 pada satu masa (mis. Kami ingin mengisi 7 jawatan), kita ada

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

Ia mungkin kelihatan sangat intuitif #0! = 1#; Walau bagaimanapun, ini memang berlaku.