Bagaimanakah anda menggunakan ujian perbandingan batasan untuk jumlah 1 / (n + sqrt (n)) untuk n = 1 hingga n = oo?

Jawapan:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # Diverges, ini dapat dilihat dengan membandingkannya dengan #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

Penjelasan:

Oleh kerana siri ini adalah jumlah nombor positif, kita perlu mencari siri konvergen #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # seperti itu #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # dan menyimpulkan bahawa siri kami adalah konvergen, atau kita perlu mencari siri yang berbeza seperti itu #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # dan menyimpulkan siri kami juga berbeza.

Kami berkata yang berikut:

Untuk

#n> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

Oleh itu

# n + sqrt (n) <= 2n #.

Jadi

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Kerana ia terkenal dengan itu #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # menyimpang, jadi #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # menyimpang juga, kerana jika ia akan berkumpul, maka # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # akan berkumpul juga, dan ini tidak berlaku.

Sekarang menggunakan ujian perbandingan, kita dapat melihatnya #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # menyimpang.

Ujian perbandingan batasan mengambil dua siri, # suma_n # dan # sumb_n # di mana #a_n> = 0 #, # b_ngt0 #.

Jika #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # di mana #L> 0 # dan terhingga, maka kedua-dua siri berkumpul atau kedua-dua siri menyimpang.

Kita harus membiarkannya # a_n = 1 / (n + sqrtn) #, urutan dari siri yang diberikan. Yang baik # b_n # pilihan adalah fungsi yang berkuasa # a_n # pendekatan sebagai # n # menjadi besar. Jadi, mari # b_n = 1 / n #.

Perhatikan bahawa # sumb_n # menyimpang (ia siri harmonik).

Jadi, kita melihatnya #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n +. Meneruskan dengan membahagikan melalui # n / n #, ini menjadi #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Oleh kerana had tersebut adalah #1#, iaitu #>0# dan didefinisikan, kita melihatnya # suma_n # dan # sumb_n # akan menyimpang atau menumpukan. Sejak kita sudah tahu # sumb_n # menyimpang, kita dapat membuat kesimpulan itu # suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # menyimpang juga.